錯排是乙個很經典的問題，對此，有乙個二項式反演的求法。
正常的錯排的公式是基於容斥的。記pi
p
i表示滿足
i i
號點在自己的位置的排列，那麼錯排就是求乙個: u−
⋃pi' role="presentation" style="position: relative;">u−⋃
piu−
⋃pi，那麼很明顯用容斥原理計算一下就可以得到式子，這裡不多說。
如果是要求錯排，我們考慮其補集，就是說
n n
個點的排列，有
k' role="presentation" style="position: relative;">k
k個點在自己原來的位置的方案，那麼我們答案就是k=
0 k=0
的時候。
考慮怎麼求這個東西。
先硬點
k k
個點在自己的原位，即是 cn
k' role="presentation" style="position: relative;">ckn
cnk，然後剩下的隨便排，就是有(n
−k)!
( n−
k)
!種，但是明顯會算重複以及不合法的。考慮容斥，對於乙個k0
≥kk 0≥
k，我們在硬點的時候有ck
k0c k0
k的方案硬點到此，然後有ck
0nc nk
0的選顏色的方案，所以就是這樣，將這個式子取k=
0 k=0
的時候，與常見的方法算出來的一模一樣。
具體的，式子就是： ∑k
0=0(
−1)k
0−kc
k0nc
kk0(
n−k0
)!∑ k0
=0(−
1)k0
−kcn
k0ck
0k(n
−k0)
!下面從二項式反演的角度來說明這個問題：
首先我們從廣義的容斥原理來說，設fi
f
i為容斥係數，那麼應當有： ∑n
i=0c
inf(
i)=[
n=k]
∑ i=
0ncn
if(i
)=[n
=k
]所以就出來了。
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題目鏈結 題目大意 給定乙個n個節點的樹，給它染色並且使得相鄰節點異色。問恰好用k種顏色的染色方案數 恰好k種不是很好求，因為我們很難保證每種顏色都用到，於是我們先考慮求最多k種顏色。那麼就讓每個點和它的父親節點異色就可以了。也就是k k 1 n 1k k 1 k k 1 n 1 那麼我們令f i ...