1.對於最小生成樹的任何一條邊e，將它去掉後形成兩個集合u和v，則e是u，v兩集合間所有邊中最小的（假設不是，則可以把e去掉換成一條更小的邊，從而形成一棵更小的生成樹，矛盾）
2.在最小生成樹中的第k長邊是所有生成樹中第k長邊的最短邊。設該邊為e，將它去掉後形成兩個集合u和v，若是生成樹，那麼在u和v間一定有邊，所以加上一條邊要比e大，此時將新生成樹的邊排序，在最小生成樹中比e大的邊有k-1條，加上新添的，比e大的一共有k條，所以新生成樹中第k長邊大於e。
3.次小生成樹可由最小生成樹換一條邊得到
證法一 ：可以證明下面乙個更強的結論：t是一棵最小生成樹，t0是一棵異於t的樹，通過變換 t0 ---> t1 ---> t2 ---> ...... ---> tn(t)變成最小生成樹。所謂的變換是，每次把ti中的某條邊換成t中的一條邊，而且樹t(i+1)的權值小於t(i)的權值。
具體操作是 ： ① 在 t(i)中任取一條不在t中的邊e
② 把e去掉，剩下兩個連通分量u，v，在t中必有唯一的邊e1連線u和v
③ 顯然e1的權比e小，將e換為e1即可得樹t(i+1)
特別的取t0為任一棵次小生成樹，t(n-1)也就是次小生成樹且跟t差一條邊，得證。
證法二：設t，t1為原圖的最小生成樹和次小生成樹，由定義，不存在權值介於t和t1間的樹，設t的邊e(t) =，且邊按權值從小到大排列，t1的邊集e(t1)=,且邊按權值從小到大排列，設k是第乙個使ek不等於fk的下標，顯然有ek
4.次小生成樹演算法
一種容易想到的方法是列舉刪除最小生成樹上的邊，再求最小生成樹(前提是去掉一條邊後剩下的邊還能形成樹)，所得的最小值即為次小生成樹的權值。但複雜度高，相當於執行了n次最小生成樹演算法。
但有一種更簡單的方法：先求最小生成樹t，列舉新增不在t中的邊，則新增後一定會形成環。找到環上邊值第二大的邊(即環中屬於t中的最大邊)，把它刪掉，計算當前生成樹的權值，取所有列舉修改的生成樹的最小值，即為次小生成樹。
這種方法在實現時有更簡單的方法：首先求最小生成樹t，並用乙個二維陣列max[u][v]記錄結點u到結點v的路勁上邊的最大值(即最大邊的值)。然後列舉不在t中的邊(u,v)，計算t- max[u][v] + w(u,v)的最小值，即為次小生成樹的權值。對於max陣列可以在prim的加邊過程中不斷更新，演算法的具體實現見
關於生成樹 次小生成樹
1.對於最小生成樹的任何一條邊e，將它去掉後形成兩個集合u和v，則e是u，v兩集合間所有邊中最小的 假設不是，則可以把e去掉換成一條更小的邊，從而形成一棵更小的生成樹，矛盾 2.在最小生成樹中的第k長邊是所有生成樹中第k長邊的最短邊。設該邊為e，將它去掉後形成兩個集合u和v，若是生成樹，那麼在u和v...
最小生成樹 次小生成樹
一 最小生成樹 說到生成樹首先要解釋一下樹，樹是乙個聯通的無向無環圖，多棵樹的集合則被稱為森林。因此，樹具有許多性質 1.兩點之間的路徑是唯一的。2.邊數等於點數減一。3.連線任意兩點都會生成乙個環。對於乙個無向聯通圖g的子圖，如果它包含g的所有點，則它被稱為g的生成樹，而各邊權和最小的生成樹則被稱...
最小生成樹 次小生成樹 模板
次小生成樹我的理解 在最小生成樹的基礎上，列舉不再最小生陳樹上的邊，然後成環，取出一條除了新加入的那條邊外的最長邊，最終的權值即為次小生成樹的權值。小結論 當次小生成樹的權值與最小生成樹的權值相同時，最小生成樹不唯一。include include include includeusing name...