學習筆記 樹狀陣列（整合修改版）

一維樹狀陣列

我學習的版本是這樣的

區間修改：

我們假設sigma(r，i)表示r陣列的前i項和，呼叫一次的複雜度是log2(i)

設原陣列是a[n]，差分陣列c[n]，c[i]=a[i]-a[i-1]，那麼明顯地a[i]=sigma(c,i)，如果想要修改a[i]到a[j](比如+v)，只需令c[i]+=v,c[j+1]-=v

區間查詢：

在基於樹狀陣列的基礎操作：單點修改、區間查詢上，我們可以這樣操作

首先觀察

a[1]+a[2]+...+a[n]

= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n]) 

= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]

= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])    (式子①)

那麼我們就維護乙個陣列c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c[i]

每當修改c的時候，就同步修改一下c2，這樣複雜度就不會改變

那麼式子①

=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)

於是我們做到了在o(logn)的時間內完成一次區間和查詢

#include#include

#include
#include
#define n 3010
using
namespace
std;
intn,q,num[n],c1[n],c2[n];
inline 
int lowbit(int
x)inline 
int add(int *r,int u,int
del)
inline 
int sum_(int *r,int
v)inline 
void
jimmy()
for(int i=1,type;i<=q;i++)
if(type==2
)    }
}int
main()
區間修改 區間查詢

學完本來高高興興

然後一看二維樹狀陣列

那我二維怎麼把乙個點差分成乙個2維的i*j啊

然後就懵逼了

所以這種辦法雖然是正確的，但是不利於推廣

所以接下來介紹一下另一種可以推廣的姿勢的樹狀陣列區間修改+區間查詢的辦法

然後，**一篇dalao的部落格 

orzaireen ，這種樹狀陣列理解完一維就可以輕鬆推廣到二維

#include#include

#include
#include
#define n 3010
using
namespace
std;
struct
bit    inline 
void add(int x,int
del)
inline 
int sum(int
x)};
struct
bit    inline 
void add(int l,int r,int
del)
inline 
void sum(int l,int
r)};
inline 
void
jimmy()
intmain()

#include#include

#include
#include
using
namespace
std;
struct
bit_2d
inline 
void add(int x,int y,int
del)
inline 
int sum(int x,int y,int
del)
}s;struct
bit_2d
inline 
void add(int x,int y,int
del)
inline 
void add(int x,int y,int
del)
inline 
int sum(int x,int
y)    inline 
int sum(int a,int b,int c,int
d) }s;
inline 
void
jimmy()
intmain()

x'>δxδx

表示區間[x,

n]'>[x,

n][x,n]

的共同增量. 

利用的差分的思想,對於區間[l,

r]'>[l,

r][l,r]

,每次修改δl,

δr+1

'>δl,

δr+1

δl,δr+1

即可. 

這就解決了區間加的問題.x=

ai′+

∑i=1

xδi'>ax=

a′i+

∑xi=

1δiax=ai′+∑i=1xδi s

x=∑i

=1xa

i=∑i

=1xa

i′+∑

i=1x

(x−i

+1)δ

i=∑i

=1xa

i′+∑

i=1x

δi×(

x+1)

−∑i=

1xδi

×i'>sx=

∑i=1

xai=

∑i=1

xa′i

+∑i=

1x(x

−i+1

)δi=

∑i=1

xa′i

+∑i=

1xδi

×(x+

1)−∑

i=1x

δi×i

sx=∑i=1xai=∑i=1xai′+∑i=1x(x−i+1)δi=∑i=1xai′+∑i=1xδi×(x+1)−∑i=1xδi×i

所以只需維護δi,

δi×i

'>δi,

δi×i

δi,δi×i

的字首和即可.

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