樹狀陣列（binary index tree, bit）也是很多人心中最簡潔優美的資料結構之一。最簡單的樹狀陣列支援兩種操作，時間複雜度均為 ：
當然，樹狀陣列能維護的不侷限於加法，支援的操作也不止這兩種，甚至有大佬能用樹狀陣列實現平衡樹，但這篇筆記不會深入討論（因為我也還不是很懂）。
回顧一下，我們說，我們要實現兩種操作：單點修改和區間求和。對於普通陣列而言，單點修改的時間複雜度是 o(1
)o(1)
o(1)
，但區間求和的時間複雜度是 o(n
)o(n)
o(n)
。當然，我們也可以用字首和的方法維護這個陣列，這樣的話區間求和的時間複雜度就降到了 o(1
)o(1)
o(1)
，但是單點修改會影響後面所有的元素，時間複雜度是o(n
)o(n)
o(n)
。程式最後跑多長時間，是由最慢的一環決定的，因此現在我們希望找到這樣一種折中的方法：無論單點修改還是區間查詢，它都能不那麼慢地完成。
注意到對[a,
b]
[a,b]
[a,b
]進行區間查詢只需查詢 [1,
b]
[1,b]
[1,b]和[1,
a)
[1,a)
[1,a
)然後相減即可（字首和就是這樣進行區間查詢的），所以我們可以把區間查詢問題轉化為求前n項和的問題。
關於陣列的維護，有個很自然的想法：可以用乙個陣列維護若干個小區間，單點修改時，只更新包含這一元素的區間；求前n項和時，通過將區間進行組合，得到從1到n的區間，然後對所有用到的區間求和。實際上，設原陣列是 a
aa，如果 c
ic_i
ci維護的區間是[ai
,ai]
[a_i,a_i]
[ai,a
i] ，此結構就相當於普通陣列（還浪費了一倍記憶體）；如果c
ic_i
ci維護的區間就是[1,
ai
][1,a_i]
[1,ai
]，此結構就相當於字首和。
現在我們試圖尋找一種結構，一方面，單點修改時需要更新的區間不會太多；另一方面，區間查詢時需要用來組合的區間也不會太多。
樹狀陣列就是這樣一種結構，它巧妙地利用了二進位制（實際上，樹狀陣列的英文名bit，直譯過來就是二進位制下標樹）。例如11，轉化為二進位制數就是 (
1011)2
(1011)_2
(1011)
2，如果我們要求前11項和，可以分別查詢 (
(0000)2
,(
1000)2
]((0000)_2,(1000)_2]
((0000
)2,
(100
0)2
]、 (
(1000)2
,(
1010)2
]((1000)_2,(1010)_2]
((1000
)2,
(101
0)2
]以及 (
(1010)2
,(
1011)2
]((1010)_2,(1011)_2]
((1010
)2,
(101
1)2
]的和再相加。這三個區間怎麼來的呢？其實就是不斷地去掉二進位制數最右邊的乙個1的過程。
我們定義，二進位制數最右邊的乙個1，連帶著它之後的0為 low
bit(
x)
lowbit(x)
lowbit
(x)（稍後再來看如何實現）。那麼我們用c
ic_i
ci維護區間((a
i−lo
wbit
(ai)
,ai]
((a_i-lowbit(a_i),a_i]
((ai−
lowb
it(a
i),
ai]
，這樣顯然查詢前n項和時需要合併的區間數是少於log2
n\log_2^n
log2n
的。那麼如何更新呢，大家會發現更新就是乙個「爬樹」的過程。一路往上更新，直到maxn（樹狀陣列的容量）。
每一步都把從右邊起一系列連續的1變為0，再把這一系列1的前一位0變為1。這看起來像是乙個進製的過程對吧？實際上，每一次加的正是 low
bit(
x)
lowbit(x)
lowbit
(x)。這樣，我們更新的區間數不會超過 log2
maxn
\log_2^
log2ma
xn。乙個能以 o
(logn
)o(\log n)
o(logn
)時間複雜度進行單點修改和區間查詢的資料結構就誕生了。
lowbit怎麼算？如果一位一位驗證的話，會形成額外的時間開銷。然而，我們有這樣神奇的乙個公式：
l ow
bit(
x)=(
x)
lowbit(x)=(x)
lowbit
(x)=
(x) & (−x
)(-x)
(−x)
我們需要知道，計算機裡有符號數一般是以補碼的形式儲存的。-x相當於x按位取反再加1，會把結尾處原來1000…的形式，變成0111…，再變成1000…；而前面每一位都與原來相反。這時我們再把它和x按位與，得到的結果便是low
bit(
x)
lowbit(x)
lowbit
(x)。
int tree[maxn]
;inline
void
update
(int i,
int x)
inline
intquery
(int n)
inline
intquery
(int a,
int b)
（hdu p1166）敵兵布陣
（洛谷p1908） 逆序對
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