高斯消元法
首先，我們匯入幾個概念。
定義1： 乙個矩陣稱為階梯形（行階梯形），若它有以下三個性質：
1.每一非零行在每一零行之上；
2.某一行的先導元素所在的列位於前一行先導元素的後面；
3.某一行先導元素所在列下方元素都是零。
比如，
定義2：若乙個階梯形矩陣還滿足以下性質，稱它為簡化階梯形（簡化行階梯形）：
1.每一非零行的先導元素是1；
2.每一先導元素1是該元素所在列的惟一非零元素。
比如，
定理1：每個矩陣行等價於惟一的簡化階梯形矩陣。即簡化階梯形矩陣是惟一的。
下面，我們用乙個具體例子來說明高斯消元法的主要步驟。
原矩陣：
第一步，由最左的非零列開始，這是乙個主元列。主元位置在該列頂端。
第二步，在主元列中選取乙個非零元作為主元。若有必要的話，對換兩行使這個元素移到主元位置上。
第三步，用倍加行變換將主元下面的元素變成0.
第四步，暫時不管包含主元位置的行以及它上面的各行，對剩下的子矩陣使用上述的三個步驟直到沒有非零行需要處理為止。
對每一行重複上述步驟。
第五步，由最右面的主元開始，把每個主元上方的各元素變成0.若某個主元不是1，用倍乘變換將它變成1.
最後，我們就得到了原矩陣的簡化階梯形。
其中，第1~4步稱為行化簡演算法的向前步驟，產生唯一的簡化階梯形的第5步，稱為向後步驟。
c++實現
大概的實現思路就是先實現向前步驟：
首先，我們對於每一行找到第乙個不為零的元素，並且將這一行置為1 * * * *的形式，用這一行乘上倍數加到之後的每一行。
再實現向後步驟：
然後，我們從最後一行開始，選擇主元，加到之前的每一行上，使得該列的元素都為零。
最後，我們就完成了化簡，得到了簡化階梯形。
以上演算法只是乙個粗略實現，主要體現在：
1.對於主元的選定不夠最優；
2.會出現精度問題；
3.對於某些情況無法處理。
先暫時貼上**，之後有時間再進行優化。
1 #include 2 #include 34using
namespace
std;56
intmain()729
30if(martix[i][pos] != 1 && martix[i][pos] != 0)31
37}38for(int j = i + 1; j < n; j++)
3947}48
}4950//
向後步驟
51for(int i = n - 1; i > 0; i--)
5260
61if(martix[i][pos] != 1 && martix[i][pos] != 0)62
68}6970
for(int j = 0; j < i; j++)
7179}80
}8182//
輸出83
for(int i = 0; i < n; i++)
8489
return0;
90 }
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