2023年寫的東西，使用馬爾可夫鏈求簡化的拍手遊戲的勝負概率。
我的設想是人機對玩時程式可以**人的動作概率來最大化勝率。
ps:其他問題：
遊戲介面如何模擬剪刀石頭布的場景，可以讓人們相信對方沒有作弊或非常容易發現對方作弊？
原文：我說的拍手遊戲是指這個小時候的遊戲：ab用手勢表示裝彈、防衛和開槍，每拍兩次手給出手勢，勝出的條件是開槍時對方在裝彈或者先裝滿五顆子彈。用（＋）（＝）（―）表示裝彈、防衛、開槍，有（―）＜（＝）＜（＋）＜（―），類似於剪刀石頭布。我用程式試驗在很簡單的條件下遊戲的勝負情況。
網上介紹的規則要複雜得多，還有人在上大學前用 c# 實現過區域網對戰版本。程式似乎難以模擬這類猜拳遊戲的同步場景。這個遊戲也可以實現為其他場景。比如，房間裡有錢幣，ab每一次或者不進入房間，或者進入房間偷走乙個錢幣，或者進入房間放回乙個錢幣。先偷走m個錢幣的勝出，或者進入房間放回錢幣而（看見）對方偷走錢幣時勝出。
假設：雙方設定在當前雙方裝彈數目為ab時，自己出某個手勢的概率，儲存在table_a/b。
table_b中（＋）（＝）（－）的概率都設為p、r、q。例外：b＝0時，不允許（－），q≡0，r≡1－p；a＝0時，沒有必要（＝），r≡0，q≡1－p。
table_a通過置換table_b對應單元中（＋）（＝）（－）的概率得到。我希望a勝的概率pa總大於1/2。
在b＝0或a＝0時，合理的置換只有乙個，如下圖所示。但a＋b＝0時，雙方p(+)≡1。
按照（―）＜（＝）＜（＋）＜（―），a＞0，b＞0時的置換如下圖所示。
下邊就是看看在p、r（q＝1―p―r）和最大裝彈數目m的不同取值下，遊戲的勝負情況。
將遊戲看成從原點出發的隨機游動，ab就是狀態（a，b），a，b＝0，1，……，m；δa，δb＝―1，0，1；a＝0時，δa≠―1，δb≠0，ab對調亦然。新增狀態end_a、end_b，表示a勝、b勝。規定當δa＝1，δb＝―1或者a＝m，b＜m時轉移到狀態end_a，ab對調亦然；到達end_a或end_b後不再轉移至其他狀態。因此座標上的點每次可向周圍最多6個點移動、或者不動、或者轉移到end_a或end_b。
為了方便計算，合併多餘的狀態。（m，b＜m）/（a＜m，m）合併至end_a/end_b。另外，（m―1，0）/（0，m―1）一定轉移到end_a/end_b；（m，m）一定轉移到（0，0），而（0，0）一定轉移到（1，1）。合併後，游動實際上從（1，1）出發；（m―1，m―1）在δa＝1，δb＝1時轉移到（1，1）；狀態總數n為：（m＋1―1）^2＋2―3＝m^2―1。如圖所示，取m＝5。
ab的手勢按當前雙方裝彈數目對應的設定概率給出，因此這n個狀態組成的游動是乙個齊次馬爾可夫鏈。由table_a/b可得到轉移矩陣。end_a、end_b是（非零）常返狀態；其他狀態是非常返狀態。系統最終一定被吸收進end_a或者end_b。吸收概率和平均吸收時間的解法可參見《概率、隨機變數與隨機過程》15.5節非常返狀態和吸收概率。
用轉移矩陣的特徵值計算好像也是可以的。用matlab的符號運算功能可以得出pa的表示式，很長。將數值代入最終的表示式計算比代入轉移矩陣計算的效率高，但是計算pa很費時間，不如直接代入轉移矩陣。
先考慮a＞0，b＞0時出一次手勢的情況。這三種情況對a有利：勝；a（＋）b（＝）；a（＝）b（―）。假設這三項的權重一樣，則取它們的和為sa＝p^2＋r^2＋q^2，則sb＝qr＋pq＋pr。顯然sa≥sb，似乎總是a占有比較大的優勢。如果只取前兩項，p^2＋r^2＞1/4時，sa＞sb；p^2＋r^2＜2/9時，sa＜sb。如果只取第一項，則sa＝p^2，有pa＞sa＞1/2，若p^2＞1/2；sb＝qr≤1/4。不過這樣一次簡單的比較意義不大。除end_a/b外的狀態總數為n―2＝m^2―3，因此m的最小值應取3。如果m＝2，則只有乙個初始狀態（1，1），取三項之和的sa、sb，有pa/pb＝sa/sb≥1。
以步進值0.025取0~1之間的41個點作為p、r的取值，取m＝3，4，5，6，7，15，畫出p＋r≤1時，pa的變化情況，pa有npa＝861個點。m＝3時pa如下圖所示；m取其他值時的曲面形狀相似，見等高線圖。可見，pa並非總是大於1/2。m越大，pa最小值越小，pa＜1/2的範圍越大，見下表。
最小值出現在p＜1/3，q＝1/3附近，取一項之和的sa、sb，sa＝p^2，sb＝qr，有sa＜sb。直接作圖看看sa―sb＜0和pa＜1/2的分布，如下圖所示。除邊緣幾個格仔外，可以認為sa＜sb是pa＜1/2（m≤15）的充分條件。
也就是p較小，而q約為1/3時，採用上述置換對a是不利的。此時b傾向於（―）和（＝），而a隨著傾向於（＝）和（＋），企圖達到最大裝彈數目m來取勝，但同時中槍的可能性比較大，m越大，越難以達到，p(pa＜1/2)越大。
如果不置換，結果如上圖所示，取m＝34567。p(pa＜1/2)≤202/npa＝0.23，最小值都出現在p≥0.4處，且min(pa)≥0.4966。不置換時，a應該只在b＞a＝0時不得不佔劣勢，我本以為p(pa＜1/2)＝0。
如果反過來，取經過上述置換得到table_b的table作為table_a，能不能使a起死回生？這樣置換後，相當於ab、pq位置互換，三項之和的sa＝qr＋pq＋pr，sb＝p^2＋r^2＋q^2，原來的pa＜1/2，p＜1/3對應於置換後的pa＝1―pb＞1/2，p＋r＝1－q＞2/3。取m＝5，看看和其他三個置換的結果。其他置換是左右對稱的。這四個置換的p(pa＜1/2)
都大於原來的p(pa＜1/2)＝0.2009。
p1的p(pa＜1/2)
最大，p(pa＜1/2)＞1/2，max(pa)＜1。p2的p(pa＜1/2)
最小，且剛好可以作為原來pa＜1/2時的替換，但m繼續增大時，二者pa＜1/2的區域有重合。直接從p2來看，sa－sb＝p（r―q），r＜q時，也就是r＜1/2―p/2時，對b是有利的。但結果表明在p＝0.25附近有另一條分界線。p3直觀上也是在p＞r時對b有利；另一條分界線在q＝0.15附近。對於p4，sa―sb＝p^2―q^2＝(1―r)(2p＋r―1)，r＜1―2p
時sa＜sb，而實際上主要在r＜0.5時才有pa＜1/2。
所以，如果隨機地選擇一組pr，按照（―）＜（＝）＜（＋）＜（―）得到的置換方式是最合理的，而相反的置換方式是最不合理的。
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