約瑟夫問題

欠的債早晚要還啊。一直以為約瑟夫好好碼鍊錶就可以了。結果就沒有深究數學簡化。

現在補上吧

無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點：要模擬整個遊戲過程，不僅程式寫起來比較煩，而且時間複雜度高達o(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。

為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：

問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出

，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第乙個人(編號一定是(m-1)%n) 出列之後，剩下的n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

並且從k開始報0。

現在我們把他們的編號做一下轉換：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

......

k-3 --> n-3

k-2 --> n-2

序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1

序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1

變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：

∵ k=m%n;

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大於n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

得到 x『=(x+m)%n

如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是乙個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：

令f表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n].

遞推公式:

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1由於是逐級遞推，不需要儲存每個f，程式也是異常簡單：

這個演算法的時間複雜度為o(n)，相對於模擬演算法已經有了很大的提高。算n，m等於一百萬，一千萬的情況不是問題了。可見，適當地運用數學策略，不僅可以讓程式設計變得簡單，而且往往會成倍地提高演算法執行效率。

參照上面提供的思路，我認為可以類似的得到乙個更易於明白的方法，設有（1,2,3，……，k-1，k，k+1，……，n）n個數，當k出列時，那麼有

k+1 -->1

k+2 -->2

......

n -->n-k

1 -->n-k+1

......

k-1 -->n-1

由上面一組式子可以推出，若知道新產生的n-1個數中某個數x，那麼很顯然可以推出x在原數列裡的位置，即x『=（x+k）%n,由此，我們可以得到乙個遞推公式

f[1]=1

f[n]=(f[n-1]+k)%n （n>1）

如果你認為上式可以推出約瑟夫環問題的解，很不幸，你錯了，上面的遞推公式中，在某種情況下，f[n-1]+k會整除n，如n=2，k=3，這時我們修要對上式進行修正，

f[n]=(f[n-1]+k)%n;if(f[n]==0)f[n]=n;

雖然看完感覺也不是很難推，但是我昨天還硬是沒推出來。。。。

有點水啊。。。。

約瑟夫問題

約瑟夫問題約瑟夫環

約瑟夫問題約瑟夫環

約瑟夫問題

約瑟夫問題

約瑟夫問題 約瑟夫環

約瑟夫問題 約瑟夫環

約瑟夫問題

相關推薦

約瑟夫問題約瑟夫環

約瑟夫問題約瑟夫環