約瑟夫
問題(有時也稱為約瑟夫斯置換,是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中,類似問題又稱為約瑟夫環。又稱「丟手絹問題」.)
據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事:在羅馬人占領喬塔帕特後,39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中,39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到,於是決定了乙個自殺方式,41個人排成乙個圓圈,由第1個人開始報數,每報數到第3人該人就必須自殺,然後再由下乙個重新報數,直到所有人都自殺身亡為止。然而josephus 和他的朋友並不想遵從。首先從乙個人開始,越過k-2個人(因為第乙個人已經被越過),並殺掉第
k個人。接著,再越過k-1個人,並殺掉第
k個人。這個過程沿著圓圈一直進行,直到最終只剩下乙個人留下,這個人就可以繼續活著。問題是,給定了和,一開始要站在什麼地方才能避免被處決?josephus要他的朋友先假裝遵從,他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置,於是逃過了這場死亡遊戲。
[1]17世紀的法國數學家加斯帕在《數目的遊戲問題》中講了這樣乙個故事:15個教徒和15 個非教徒在深海上遇險,必須將一半的人投入海中,其餘的人才能倖免於難,於是想了乙個辦法:30個人圍成一圓圈,從第乙個人開始依次報數,每數到第九個人就將他扔入大海,如此迴圈進行直到僅餘15個人為止。問怎樣排法,才能使每次投入大海的都是非教徒。
*問題分析與演算法設計
約瑟夫問題並不難,但求解的方法很多;題目的變化形式也很多。這裡給出一種實現方法。
題目中30個人圍成一圈,因而啟發我們用乙個迴圈的鏈來表示,可以使用結構
陣列來構成乙個迴圈鏈。結構中有兩個成員,其一為指向下乙個人的指標,以構成環形的鏈;其二為該人是否被扔下海的標記,為1表示還在船上。從第乙個人開始對還未扔下海的人進行計數,每數到9時,將結構中的標記改為0,表示該人已被扔下海了。這樣迴圈計數直到有15個人被扔下海為止。
約瑟夫問題是個有名的問題:n個人圍成一圈,從第乙個開始報數,第m個將被殺掉,最後剩下乙個,其餘人都將被殺掉。例如n=6,m=5,被殺掉的順序是:5,4,6,2,3,1。
用鍊錶環表示:首先構造鍊錶環,之後刪除第m個元素,往後繼續數。用shoot表示1~m的迴圈。
用c++,list容器模擬環,其中沒有next。用迭代器++實現,**如下:int josephus1(int n,int m)
listnode *head=creat(n);
int shoot=1;
listnode *p=head,*s=p;
while(length(p)>1)
else
}cout
} listnode *creat(int n)
head=head->next;
p->next=head;
return head;
} listnode *remove(listnode *head,int val)
if (p->val==val)
}int length(listnode* head)
return length+1;
}
此方法時間複雜度為o(n),空間複雜度為o(1)。缺點是無法實現過程輸出,只能求得最後乙個元素的值。int josephus2(int n,int m)
listli;
for (int i=1;i<=n;i++)
list::iterator iter=li.begin();
while (li.size()>1)
--iter;
cout<";
li.erase(iter);
iter=next;
} cout<
為了討論方便,先把問題稍微改變一下,並不影響原意:
問題描述:n個人(編號0~(n-1)),從0開始報數,報到(m-1)的退出,剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第乙個人(編號一定是(m-1) mod n) 出列之後,剩下的n-1個人組成了乙個新的
約瑟夫環(以編號為k=m mod n的人開始):
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
並且從k開始報0。
我們把他們的編號做一下轉換:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
......
k-2 --> n-2
變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題,假如我們知道這個子問題的解:例如x是最終的勝利者,那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎?!!變回去的公式很簡單,相信大家都可以推出來:x'=(x+k) mod n
如何知道(n-1)個人報數的問題的解?對,只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢?當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是乙個倒推問題!好了,思路出來了,下面寫
遞推公式:
令f表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號,最後的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)
有了這個公式,我們要做的就是從1-n順序算出f的數值,最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始,我們輸出f[n]+1
由於是逐級遞推,不需要儲存每個f,程式也是異常簡單:
**如下:
int josephus(int n,int m)
int f=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
return f+1;
}
完整**如下;
其中 int josephus2(int n,int m)和 int josephus3(int n,int m)是利用list容器實現的兩種思想相同,不同操作的**。
#include #include #includeusing namespace std;
struct listnode
; int josephus(int n,int m);
int josephus1(int n,int m);
listnode *creat(int n);
listnode *remove(listnode *head,int val);
int length(listnode* head);
int josephus2(int n,int m);
int josephus3(int n,int m);
void main()
else
}cout
} listnode *creat(int n)
head=head->next;
p->next=head;
return head;
} listnode *remove(listnode *head,int val)
if (p->val==val)
}int length(listnode* head)
return length+1;
} int josephus2(int n,int m)
listli;
for (int i=1;i<=n;i++)
list::iterator iter=li.begin();
while (li.size()>1)
--iter;
cout<";
li.erase(iter);
iter=next;
} cout<
for (int i=1;i<=n;i++)
int shoot=1;
list::iterator next=li.begin();
int last=0;
list::iterator iter=li.begin();
for (iter=li.begin();li.size()>1;)
--iter;
last=*iter;
cout
li.erase(iter);
iter=next;
shoot=1;
}else
}} last=*iter;
cout<
約瑟夫問題 約瑟夫環
約瑟夫問題 有時也稱為約瑟夫斯置換,是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中,類似問題又稱為約瑟夫環。又稱 丟手絹問題 據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後,39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中,39個猶太人決定寧願死也...
Josephu 約瑟夫 約瑟夫環 問題
version 2019年08月08日 public class josepfu 建立乙個環形的單向鍊錶 class circlesinglelinkedlist 輔助指標,幫助構建環形鍊錶 boy curboy null for int i 1 i nums i else 遍歷當前的環形鍊錶 pu...
約瑟夫環問題
約瑟夫環問題 問題描述 編號是1,2,n的n個人按照順時針方向圍坐一圈,每個人持有乙個密碼 正整數 一開始任選乙個正整數作為報數上限值m,從第乙個人開始順時針方向自1開始順序報數,報到m時停止報數。報m的人出列,將他的密碼作為新的m值,從他在順時針方向的下乙個人開始重新從1報數,如此下去,直到所有人...