2018-8-28 更新
聽說有這麼一種演算法能夠
暴力相乘的話，電腦要計算 \(b\) 次。用快速冪，計算次數在 \(log_2(b)\) 級別，很實用。
(1)如果將 \(a\) 自乘一次，就會變成 \(a^2\) 。再把 \(a^2\) 自乘一次就會變成 \(a^4\) 。然後是 \(a^8\)…… 自乘 \(n\) 次的結果是 \(a^}\) 。對吧……
(2)\(a^xa^y = a^\)，這個容易。
(3)將 \(b\) 轉化為二進位制**一下：
比如 \(b = (11)_\) 就是 \((1011)_\) 。從左到右，這些 \(1\) 分別代表十進位制的 \(8,2,1\)。可以說 \(a^ = a^8 × a^2 × a^1\)。
為什麼要這樣表示？因為在快速冪的過程中，我們會把 \(a\) 自乘為 \(a^2\)，然後 \(a^2\) 自乘為 \(a^4\)……像上面第一條說的。
過程會是這樣：
（好長，可以不看，如果要閱讀下面的模擬過程的話，要慢慢地看噢）
·假設我們拿到了 \(a\)，並且 \(b = 11\)。想求 \(a^\)，但是又不想乘11次，有點慢。
·以電腦視角稍稍觀察一下 \(b = 11\)，二進位制下是 \(b = 1011\)。
·製作乙個 \(base\)。現在 \(base = a\)，表示的是，\(a^1 = a\)。待會 \(base\) 會變的。
·製作乙個 \(ans\)，初值 \(1\)，準備用來做答案。
while(b > 0)
= a^8 × a^2 × a^1\) 中的「 \(× a^1\) 」存在。所以 $ ans *= base $。
if(b & 1)
ans *= base;
/*關於 b & 1：
「&」美名曰「按位與」。
x & y 是二進位制 x 和 y 的每一位分別進行「與運算」的結果。
與運算，即兩者都為 1 時才會返回 1，否則返回 0。
那麼 b & 1
二進位制b = 1011
1 = 0001
b&1 = 0001
因為 1（二進位制）的前面幾位全部都是 0，
所以只有 b 二進位制最後一位是 1 時，b & 1 才會返回 1。
挺巧妙的，並且很快。)*/
base *= base;b >>= 1;}·\(base\) 繼續努力，通過 \(base *= base\) 讓自己變成了 \(a^4\)。然後 \(b\) 也右移
一位。\(b = 10\)。
·迴圈三，可是 \(b\) 的最後一位不再是 \(1\) 了，說明不存在「 \(× a^4\) 」。\(base\) 自我昇華，達到了 \(a^8\)。且 \(b >>= 1\)。這一步中，答案沒有增加，可是畢竟 \(b > 0\)，還有希望。
·迴圈四，\(b\) 的最後一位是 \(1\)，這說明「 \(×a^8\) 」的存在。$ ans *= base $。由於 \(b\) 再右移一位就是 \(0\) 了，迴圈結束。
總的來說，如果 \(b\) 在二進位製上的某一位是 \(1\)，我們就把答案乘上對應的 \(a^}\)。不懂的話，請結合**理解~
int quickpower(int a, int b)//是求a的b次方
return ans;
}
重新開始。若當前 \(p\) 為偶數，咱們不著急，只需把 \(x\) 自乘，然後 $ p /= 2$ （即考慮下一層，下幾層會幫我們乘上 \((x^2)^\)的）。
若當前 \(p\) 為奇數，說明 \(x^p = x*(x^2)^\) 中前面那個 \(x\) 的存在，\(ans *= x\)。然後繼續考慮下一層（下幾層會幫我們乘上 \((x^2)^\)的）。注意，這裡的 \(x\) 不是指題目開始給出的 \(x\)，而是當前層的 \(x\) 應有的值，這跟上面的 \(base\) 是一樣的。
也是稍稍模擬一下比較好理解。
·假設我們拿到了 \(x = 3\)，並且 \(p = 11\)。想求 \(3^\)。
·第一層迴圈。\(b = 11\)，乙個奇數。將 \(3^\) 分解為 \(3^1 * (3^2)^5\) 來看。本層只需把 \(ans *= 3^1\)。那後面的呢？我們到下一層再搞定。下幾層的總目標是讓 \(ans *= (3^2)^5\)，也就是讓 \(ans *= 9^5\)。來到下一層的方法是 \(x = 3*3 = 9\) 且 \(b = 11 / 2 = 5\)。
·第二層迴圈幾乎獨立於第一層存在。\(b = 5\)，乙個奇數。將 \(9^\) 分解為 \(9^1 * (9^2)^2\) 來看。本層只需把 \(ans *= 9^1\)。那後面的呢？我們到下一層再搞定。下幾層的總目標是讓 \(ans *= (9^2)^2\)，也就是讓 \(ans *= 81^2\)。於是 \(x = 9*9 = 81\) 且 \(b = 5 / 2 = 2\)。
·第三層迴圈，\(b = 2\)，不是奇數，不著急，只把 \(81^2\) 當作 \((81^2)^1\)。下幾層的總目標是讓 \(ans *= (81^2)^1\)。於是 \(x = 81 * 81 = 6561\)，\(b = 2 / 2 = 1\)。
·第四層迴圈，\(b = 1\)，是奇數。這時候已經不用看成什麼分解了，\(ans *= 6561\) 就可完成總目標。\(b / 2\) 為 \(0\)。結束迴圈。
**和上面一樣。因為 \(b \& 1\) 與 \(b \mod 2 == 1\) 等效。\(b /= 2\) 與 \(b >>= 1\) 等效。
快速冪經常要結合取餘運算。這裡也講一點。
取餘運算有一些好用的性質，包括：
\((a+b) \mod b = (a \mod b + b \mod b) \mod b\)
\((a×b) \mod b = ((a \mod b) × (b \mod b)) \mod b\)
證明都很簡單，如果要說服自己的話拿起筆試試吧。可設 \(a = k_a × b + r_a\)……
於是快速冪過程中可以
while(b > 0)
base *= base;
base %= m;
b >>= 1;
}
快速冪 取餘運算
給你三個整數 b,p,k，求 b p mod k。輸入只有一行三個整數，分別代表 b,p,k。輸出一行乙個字串b p mod k s，其中b,p,k分別為題目給定的值，s為運算結果。對於100 的資料，保證0 leq b,p leq 2 1 leq k leq 2 快速冪的模板題，沒有什麼好說的。有...
模板 快速冪 取餘運算
輸入b，p，k的值，求b p mod k的值。其中b，p，k k為長整型數。輸入輸出格式 輸入格式 三個整數b,p,k.輸出格式 輸出 b p mod k s s為運算結果 輸入輸出樣例 輸入樣例 1 2 10 9 輸出樣例 1 2 10 mod 9 7 硬來當然不是好方法。但是有乙個規律不知道各位...
取餘運算（mod，快速冪）
題目描述 輸入b，p，k的值，求bpmodk的值。其中b，p，k k為長整型數。輸入 輸入b，p，k的值。輸出 求bpmodk的值。輸入樣例 2 10 9 輸出樣例 2 10 mod 9 7 題目分析 對於任何乙個自然數b都有b 2 b 2 b 2 例如 19 2x9 1 所以，b19 b9 9 1...