馬爾可夫不等式把概率關聯到數學期望，給出了隨機變數的分布函式乙個寬泛但仍有用的界。
令 $x$ 為非負隨機變數，且假設 $e(x)$ 存在，則對任意的 $a > 0$ 有
$$p\left \ \leq \frac$$
馬爾可夫不等式是用來估計尾部事件的概率上界，乙個直觀的例子是：如果 $x$ 是工資，那麼 $e(x)$ 就是平均工資，假設 $a=n*e(x)$，即平均
工資的 $n$ 倍。
那麼根據馬爾可夫不等式，不超過 $1/n$ 的人會有超過平均工資的 $n$ 倍的工資。
證明如下
$$e(x) = \int_^f(x)dx = \int_^xf(x)dx + \int_^xf(x)dx \geq \int_^ xf(x)dx \geq a\int_^f(x)dx = ap\left \$$
切比雪夫不等式是馬爾科夫不等式的特殊情況。
若隨機變數 $x$ 的數學期望和方差都存在，分別設為 $e(x)$ 和 $d(x)$，則對任意的 $\varepsilon >0$，有
$$p\left \ \leq \frac}$$
通過馬爾可夫不等式可證明
$$p\left \ = p\left \ \geq \varepsilon^ \right \} \leq \frac \right \}}} = \frac}$$
切比雪夫不等式沒有限定分布的形式，所以應用廣泛，但這個界很鬆。
$\varepsilon$ 代表 $x$ 和期望 $e(x)$ 之間的距離，相差越大，則概率越小，它描述了這樣乙個事實：事件大多會集中在平均值附近。
霍夫丁 Hoeffding 不等式
1.霍夫丁引理 設 x 是均值為 0 的隨機變數，即 e x 0 且 x in a,b 則對於任意的 lambda in r 可以得到乙個關於區間長度 b a 的不等式 e e leq exp left b a right 由於隨機變數的期望為 0，所以必定有 a 0,b 0 引理證明 e 在區間 ...
不等號屬於不等式嗎 實數（等式和不等式）
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不等式數列
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