用多個變數的乙個多項式來近似表達乙個給定的多元函式，並能具體的估算出誤差的大小。
定義：函式 $f(x,y)$ 在含 $(x_,y_)$ 的某一鄰域內連續且有直到 $n+1$ 階的連續偏導數，$(x_ + h, y_ + k)$ 為此鄰域內一點，則有
$$f(x_ + h,y_ + k) = f(x_,y_) + \frac + k\cdot \frac}f(x_,y_) + \frac + k\cdot \frac \right )^}f(x_,y_) +...+ \frac + k\cdot \frac \right )^}f(x_,y_) + r_ \\
r_ = \frac + k\cdot \frac \right )^}f(x_ + \theta h,y_ + \theta k),0 < \theta < 1$$
模擬於一元泰勒公式，每個多項式有兩部分構成，一部分是包含偏導數的係數部分，另一部分是 $x-x_,y-y_$ 的冪次項。
上面的定義式不太直觀，在這個公式中多了很多交叉的項，如果只寫到二階，則形式如下：
$$f(x,y) = f(x_,y_) + f_^(x_,y_)(x-x_) + f_^(x_,y_)(y-y_) + \frac^(x_,y_)}(x-x_)^ + \frac^(x_,y_)}2(x-x_)(y-y_) + \frac^(x_,y_)}(y-y_)^ + r_$$
或者是寫成下面的形式
$$f(x_ + h,y_+k) = f(x_,y_) + f_^(x_,y_)h + f_^(x_,y_)k + \frac^(x_,y_)}h^ + \frac^(x_,y_)}2hk + \frac^(x_,y_)}k^ + r_$$
下面來看下這個一長串的定義式是怎麼推導出來的：
我們是利用一元泰勒公式來推導的，引入一元函式：
$$\phi(t) = f(x_ + ht,y_+kt),0\leq t\leq 1$$
當 $t = 1$ 時，就得到 $\phi(1) = f(x_ + h,y_+k)$。
對 $\phi(t)$ 求導，有
$$\phi^(t) = hf_^ + kf_^ = h\frac + k\frac = \left ( h\frac + k\frac\right )f$$
$$\phi^(t) = h^f_^ + 2hkf_^ + k^f_^ = h^\frac f}} + 2hk\frac f} + k^\frac f}} = \left ( h\frac + k\frac\right )^f$$
$$\phi^(t) = h^f_^ + 3h^kf_^ + 3hk^f_^ + k^f_^ = \left ( h\frac + k\frac\right )^f$$
當 $t = 0$ 時，得到
$$\phi (0) = f(x_,y_)$$
$$\phi^(0) = \left ( h\frac + k\frac\right )f(x_,y_)$$
$$\phi^(0) = \left ( h\frac + k\frac\right )^f(x_,y_)$$
代入$$\phi (t) = \phi (0) + \phi ^(0)t + \frac(0)}t^ + \frac(\theta)}t^$$
得$$\phi (t) = f(x_,y_) + \left ( h\frac + k\frac\right )f(x_,y_)\cdot t + \frac + k\frac\right )^}f(x_,y_)\cdot t^ + \frac + k\frac\right )^}f(x_ + h\theta,y_ + k\theta)\cdot t^$$
所以有：
$$\phi (1) = f(x_,y_) + \left ( h\frac + k\frac\right )f(x_,y_)\cdot + \frac + k\frac\right )^}f(x_,y_)\cdot + \frac + k\frac\right )^}f(x_ + h\theta,y_ + k\theta)\cdot$$
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