題目:已知$a,b>0$,$a+b=2$,求證: $(a+\sqrt)(b+\sqrt)\geq 3+2\sqrt.$
證明: 不妨設$a\geq b$,令$a=1+x,b=1-x(0\leq x<1$,則原不等式等價於
$(1+x+\sqrt)(1-x+\sqrt)\geq 3+2\sqrt(2).$ (1)
令$f(x)=(1+x+\sqrt)(1-x+\sqrt),x\in[0,1),$則
$f'(x)=\frac(x^2+2+\sqrt)}+\frac}-\frac},$
又令$g(x)=\frac},x\in[0,+\infty),$則
$g'(x)=\frac}>0,$
於是$g(x)$在$[0,+\infty)$上單調遞增,所以$g((1+x)^2)\geq g((1-x)^2)$,即
$\frac}\geq\frac}.$ (2)
由$0\leq x<1$及不等式(2)可知$f'(x)\geq 0$,於是$f(x)$在$[0,1)$上單調遞增,從而$f(x)\geq f(0)=3+2\sqrt,$故不等式(1)成立,即原不等式成立.
安振平老師的5934號不等式問題的證明
題目 若 a,b,c 0 求證 frac frac frac geq sqrt 證明 由柯西不等式可得 frac frac frac frac frac frac geq frac.1 由不等式 1 知要證原不等式只要證 frac geq sqrt leftrightarrow a 2 b 2 c ...
安振平老師的5895號不等式問題的證明
題目 已知 a,b,c 0 求證 frac frac frac leq frac.證明 原不等式等價於 frac frac frac leq frac leftrightarrow frac frac frac geq frac leftrightarrow frac 2a 2 frac 2b 2 ...
安振平老師的3471號不等式問題的證明
問題 設 a,b,c 0,frac frac frac 1 求證 a 2 1 b 2 1 b 2 1 c 2 1 c 2 1 a 2 1 geq 27 證明 令 frac x,frac y,frac z 則 a frac 1,b frac 1,c frac 1 且 x y z 1 x 0,y 0,z...