題目 若$a,b,c>0$,求證:$\frac+\frac+\frac\geq \sqrt}.$
證明: 由柯西不等式可得
$\frac+\frac+\frac=\frac+\frac+\frac$
$\geq \frac.$ (1)
由不等式(1)知要證原不等式只要證
$\frac\geq \sqrt}$
$\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)^2$
$\leftrightarrow (a^6+2a^4c^2+2a^2b^2c^2+b^2c^4-6a^3bc^2)+(b^6+2a^2b^4+2a^2b^2c^2+a^4c^2-6a^2b^3c)$
$+(c^6+2b^2c^4+2a^2b^2c^2+a^2b^4-6ab^2c^3)\geq 0.$ (2)
由am-gm不等式可得
$a^6+2a^4c^2+2a^2b^2c^2+b^2c^4\geq 6a^3bc^2,$ (3)
$b^6+2a^2b^4+2a^2b^2c^2+a^4c^2\geq 6a^2b^3c,$ (4)
$c^6+2b^2c^4+2a^2b^2c^2+a^2b^4\geq 6ab^2c^3.$ (5)
由不等式(3)-(5)知不等式(2)成立,故不等式(2)成立,從而原不等式獲證.
安振平老師的5895號不等式問題的證明
題目 已知 a,b,c 0 求證 frac frac frac leq frac.證明 原不等式等價於 frac frac frac leq frac leftrightarrow frac frac frac geq frac leftrightarrow frac 2a 2 frac 2b 2 ...
安振平老師的5903號不等式問題的證明
題目 已知 a,b 0 a b 2 求證 a sqrt b sqrt geq 3 2 sqrt.證明 不妨設 a geq b 令 a 1 x,b 1 x 0 leq x 1 則原不等式等價於 1 x sqrt 1 x sqrt geq 3 2 sqrt 2 1 令 f x 1 x sqrt 1 x ...
安振平老師的3471號不等式問題的證明
問題 設 a,b,c 0,frac frac frac 1 求證 a 2 1 b 2 1 b 2 1 c 2 1 c 2 1 a 2 1 geq 27 證明 令 frac x,frac y,frac z 則 a frac 1,b frac 1,c frac 1 且 x y z 1 x 0,y 0,z...