題目:已知$a,b,c>0$,求證:$\frac+\frac+\frac\leq \frac.$
證明:原不等式等價於
$\frac+\frac+\frac\leq \frac$
$\leftrightarrow \frac+\frac+\frac\geq \frac$
$\leftrightarrow \frac+2a^2}+\frac+2b^2}+\frac+2c^2}\geq \frac.$ (1)
由柯西不等式可得
$\frac+2a^2}+\frac+2b^2}+\frac+2c^2}\geq \frac+\frac+\frac\right)+2(a^2+b^2+c^2)}.$ (2)
由不等式(2)知要證不等式(1)只要證
$\frac+\frac+\frac\right)+2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac$
$\leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
$\leftrightarrow \frac[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geq 0.$ (3)
不等式(3)顯然成立,故不等式(1)成立,從而原不等式獲證.
安振平老師的5934號不等式問題的證明
題目 若 a,b,c 0 求證 frac frac frac geq sqrt 證明 由柯西不等式可得 frac frac frac frac frac frac geq frac.1 由不等式 1 知要證原不等式只要證 frac geq sqrt leftrightarrow a 2 b 2 c ...
安振平老師的5903號不等式問題的證明
題目 已知 a,b 0 a b 2 求證 a sqrt b sqrt geq 3 2 sqrt.證明 不妨設 a geq b 令 a 1 x,b 1 x 0 leq x 1 則原不等式等價於 1 x sqrt 1 x sqrt geq 3 2 sqrt 2 1 令 f x 1 x sqrt 1 x ...
安振平老師的3471號不等式問題的證明
問題 設 a,b,c 0,frac frac frac 1 求證 a 2 1 b 2 1 b 2 1 c 2 1 c 2 1 a 2 1 geq 27 證明 令 frac x,frac y,frac z 則 a frac 1,b frac 1,c frac 1 且 x y z 1 x 0,y 0,z...