設$x,y,z$為正實數,且$x\geq y\geq z$, 求證: $\frac+\frac+\frac\geq x^2+y^2+z^2$.
證明: 因為$x\geq y\geq z>0$,所以
$\frac+\frac+\frac-(\frac+\frac+\frac)=\frac\geq 0$.
即$\frac+\frac+\frac\geq \frac+\frac+\frac$.
從而$2\left(\frac+\frac+\frac\right)\geq x^2\left(\frac+\frac\right)+y^2\left(\frac+\frac\right)+z^2\left(\frac+\frac\right)\geq 2(x^2+y^2+z^2)$.
故原不等式成立.
(注:這個證法有別於《平均值不等式與柯西不等式(第二版)》p.158的證法)
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