問題 設$a,b,c>0, \frac+\frac+\frac=1$,求證: $(a^2-1)(b^2-1)+(b^2-1)(c^2-1)+(c^2-1)(a^2-1)\geq 27$.
證明: 令$\frac=x,\frac=y,\frac=z$,則$a=\frac-1,b=\frac-1,c=\frac-1$且$x+y+z=1(x>0,y>0,z>0)$,從而
原不等式可化為
$(x+y+z)^2\cdot\sum}\geq 27\leftrightarrow (x+y+z)^2\cdot \sum\geq 27x^2y^2z^2$. (1)
又由schur不等式可知
$\sum-xyz(x+y+z)=\sum+\sum\geq 0$.
所以$\sum\geq xyz(x+y+z)$. (2)
由不等式(2)及均值不等式可得
$(x+y+z)^2\cdot\sum\geq xyz(x+y+z)^3\geq 27x^2y^2z^2$.
即不等式(1)成立,故原不等式獲證.
安振平老師的5934號不等式問題的證明
題目 若 a,b,c 0 求證 frac frac frac geq sqrt 證明 由柯西不等式可得 frac frac frac frac frac frac geq frac.1 由不等式 1 知要證原不等式只要證 frac geq sqrt leftrightarrow a 2 b 2 c ...
安振平老師的5895號不等式問題的證明
題目 已知 a,b,c 0 求證 frac frac frac leq frac.證明 原不等式等價於 frac frac frac leq frac leftrightarrow frac frac frac geq frac leftrightarrow frac 2a 2 frac 2b 2 ...
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題目 已知 a,b 0 a b 2 求證 a sqrt b sqrt geq 3 2 sqrt.證明 不妨設 a geq b 令 a 1 x,b 1 x 0 leq x 1 則原不等式等價於 1 x sqrt 1 x sqrt geq 3 2 sqrt 2 1 令 f x 1 x sqrt 1 x ...