練習一下如何把乙個矩陣化為 jordan 標準型.
將矩陣\begin
a=\begin 2 & 6 & -15 \\ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -6 \end
\end
化為 jordan 標準型.
矩陣 \(a\) 的特徵多項式為
\begin
\lvert \lambda i-a \rvert =\begin \lambda-2 & -6 & 15 \\ -1 & \lambda-1 & 5 \\ -1 & -2 & \lambda+6 \end =(\lambda+1)^3
\end
所以它只有乙個特徵值 \(\lambda_1=-1\), 代數重數為 3.
對 \(\lambda_1=-1\), 令
\begin
b=a-\lambda_1 i = a+i =\begin 3 & 6 & -15 \\ 1 & 2 & -5 \\ 1 & 2 & -5 \end, \qquad b^2=0
\end
所以以 \(\lambda_1\) 為特徵值階為 1 的 jordan 塊的個數為
\begin
w_1(a,\lambda_1)-w_2(a,\lambda_1)=[n-r_1(a,\lambda_1)] - [r_1(a,\lambda_1)-r_2(a,\lambda_1)] = [3-1]-[1-0]=1
\end
其中 $r_k(a,\lambda)=\mathrm (a-\lambda i)^k, \quad r_0(a,\lambda):=n $, \(n\) 為方陣 \(a\) 的大小.
同理，以 \(\lambda_1\) 為特徵值階為 2 的 jordan 塊的個數為
\begin
w_2(a,\lambda_1)-w_3(a,\lambda_1)=[r_1(a,\lambda_1)-r_2(a,\lambda_1)] - [r_2(a,\lambda_1)-r_3(a,\lambda_1)] = [1-0]-[0-0]=1
\end
上面兩個 jordan 塊階數之和為 3，等於 \(\lambda_1\) 的重數，因而不再存在以 \(\lambda_1\) 為特徵值的其它 jordan 塊. 因矩陣 \(a\) 沒有其它特徵值，故 jordan 塊求解完畢.
只有乙個重數為 3 的特徵值 \(\lambda_1=-1\)，一階二階各乙個，所以矩陣 \(a\) 的 jordan 標準型為
\begin
j=\begin -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end
\end
將矩陣\begin
a=\begin 3 & -4 & 0 & 2 \\ 4 & -5 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \end
\end
化為 jordan 標準型.
矩陣 \(a\) 的特徵多項式為
\begin
\lvert \lambda i-a \rvert =\begin \lambda-3 & 4 & 0 & -2 \\ -4 & \lambda+5 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda-3 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & \lambda+1 \end= (\lambda+1)2(\lambda-1)2
\end
所以它有兩個特徵值 \(\lambda_1=-1\) 和 \(\lambda_2=1\), 代數重數都為 2.
對 \(\lambda_1=-1\), 令
\begin
b_1=a-\lambda_1 i = a+i &=\begin 4 & -4 & 0 & 2 \\ 4 & -4 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end \qquad \mathrm\,b_1=3 \\
b_1^2 &=\begin 0 & 0 &12 & -8 \\ 0 & 0 & 8 & -4 \\ 0 & 0 & 12 & -8 \\ 0 & 0 & 8 & -4 \end \qquad \mathrm\,b_1^2=2 \\
b_1^3 &=\begin 0 & 0 & 32 & -24 \\ 0 & 0 & 24 & -16 \\ 0 & 0 & 32 & -24 \\ 0 & 0 & 24 & -16 \end \qquad \mathrm\,b_1^3=2
\end
所以以 \(\lambda_1\) 為特徵值階為 1 的 jordan 塊的個數為
\begin
w_1(a,\lambda_1)-w_2(a,\lambda_1)=[n-r_1(a,\lambda_1)] - [r_1(a,\lambda_1)-r_2(a,\lambda_1)] = [4-3]-[3-2]=0
\end
以 \(\lambda_1\) 為特徵值階為 2 的 jordan 塊的個數為
\begin
w_2(a,\lambda_1)-w_3(a,\lambda_1)=[r_1(a,\lambda_1)-r_2(a,\lambda_1)] - [r_2(a,\lambda_1)-r_3(a,\lambda_1)] = [3-2]-[2-2]=1
\end
上面第二個 jordan 塊階數為 2，等於 \(\lambda_1\) 的重數，所以以 \(\lambda_1\) 為特徵值的 jordan 塊求解完畢.
對 \(\lambda_2=1\), 令
\begin
b_2=a-\lambda_2 i = a-i &=\begin 2 & -4 & 0 & 2 \\ 4 & -6 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end \qquad \mathrm\,b_2=3 \\
b_2^2 &=\begin -12 & 16 & 12 & -16 \\ -16 & 20 & 16 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \qquad \mathrm\,b_2^2=2 \\
b_2^3 &=\begin 40 & -48 & -40 & 48 \\ 48 & -56 & -48 & 56 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \qquad \mathrm\,b_2^3=2
\end
所以以 \(\lambda_2\) 為特徵值階為 1 的 jordan 塊的個數為
\begin
w_1(a,\lambda_2)-w_2(a,\lambda_2)=[n-r_1(a,\lambda_2)] - [r_1(a,\lambda_2)-r_2(a,\lambda_2)] = [4-3]-[3-2]=0
\end
以 \(\lambda_2\) 為特徵值階為 2 的 jordan 塊的個數為
\begin
w_2(a,\lambda_2)-w_3(a,\lambda_2)=[r_1(a,\lambda_2)-r_2(a,\lambda_2)] - [r_2(a,\lambda_2)-r_3(a,\lambda_2)] = [3-2]-[2-2]=1
\end
上面第二個 jordan 塊階數為 2，等於 \(\lambda_2\) 的重數，所以以 \(\lambda_2\) 為特徵值的 jordan 塊求解完畢.
由 jordan 標準型定理 的式 (6) 知，矩陣 \(b^k\), \(k>2\) 的秩不會再變化了，即次數大於特徵值的最大的 jordan 塊的階數時不再變化，最少為 \(n\) 減去 \(\lambda\) 的最大的 jordan 塊的階數，這裡也就是 2.
以 \(\lambda_1=-1\) 和 \(\lambda_2=1\)為特徵值的 jordan 塊各是乙個二階的，所以矩陣 \(a\) 的 jordan 標準型為
\begin
j=\begin -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0&0&0& 1\end
\end
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