從 jordan 標準型出發，能夠獲得非常有用的資訊.
jordan 矩陣
\begin
j=\begin j_(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ && j_(\lambda_k) \end , \quad n_1+n_2+\cdots+n_k = n
\end
有確定的構造，這種構造使得與之相似的任何矩陣都顯然具有某些基本性質：
設 \(k_m\) 是 \(m\times m\) 反序矩陣（就是把單位矩陣 \(i_m\) 旋轉 \(90^\)）, 它是對稱的且是對合(\(a^2=i\))的：\(k_m=k_m^t=k_m^\).
可以驗證 \(k_m j_m(\lambda)=j_m(\lambda)^t k_m\) 以及 \(j_m(\lambda) k_m=k_m j_m(\lambda)^t\), 從而 \(k_m j_m(\lambda)\) 與 \(j_m(\lambda) k_m\) 是對稱的，且 \(j_m(\lambda)=k_m j_m(\lambda)^t k_m\)，所以每乙個 jordan 塊都相似於它的轉置（通過乙個反序矩陣）. 這樣一來，如果 \(j\) 是給定的 jordan 矩陣，那麼 \(j^t\) 與 \(j\) 通過對稱的對合矩陣 \(k=k_\oplus \cdots \oplus k_\) 而相似：\(j^t=kjk\). 如果 \(s\in m_n\) 是非奇異的（不一定對稱）且 \(a=sjs^\), 那麼 \(j=s^as\),
\begin
a^t &=sjtst=skjkst=sk(sas)kst \notag \\
&= (sks)a(skst)=(skst)a(skst)
\end
且使得 \(a\) 與 \(a^t\) 之間的相似矩陣 \(sks^t\) 是對稱的. 這就證明了如下定理：
定理 1：設 \(a\in m_n\). 則存在乙個非奇異的復對稱矩陣 \(s\), 使得 \(a^t=sas^\).
若記\begin
a=sjs=(skst)(skjs)=(sjkst)(sks^)
\end
其中 \(kj\) 與 \(jk\) 是對稱的, 等式是湊的，拆開一合併就成立了. 這一結論證明了如下的定理：
定理 2：每乙個復方陣都是兩個復對稱矩陣的乘積，可以選擇其中任乙個因子是非奇異的.
對任意的域 \(\mathbf\)，已知 \(m_n(})\) 中的每個矩陣都可以通過 \(m_n(})\) 中某個對稱矩陣相似於它的轉置. 特別地，每乙個實方陣都可以通過某個實對稱矩陣與其轉置相似.
給定 \(a\in m_n\) 的乙個特徵值 \(\lambda\) 的幾何重數是 \(a\) 的與 \(\lambda\) 對應的 jordan 塊的個數. 這個數小於或者等於與 \(\lambda\) 對應的所有 jordan 塊的階之和，而這個和就是 \(\lambda\) 的代數重數. 於是，特徵值的幾何重數小於或者等於它的代數重數. 乙個特徵值 \(\lambda\) 的幾何重數與代數重數相等，即 \(\lambda\) 是乙個半單的特徵值，當且僅當與 \(\lambda\) 對應的每乙個 jordan 塊都是 \(1\times 1\) 的.
設對 \(i=1,\cdots,m\) 給定 \(a_i\in m_\), 並假設每乙個 \(a_i=s_ij_is_i^\), 其中每乙個 \(j_i\) 是乙個 jordan 矩陣. 這樣，直和 \(a=a_1 \oplus \cdots \oplus a_m\) 就通過 \(s=s_1 \oplus \cdots \oplus s_m\) 相似於直和 \(j=j_1 \oplus \cdots \oplus j_m\). 此外， \(j\) 是 jordan 塊的直和的直和，所以它是乙個 jordan 矩陣，從而 jordan 標準型的唯一性就保證了它是 \(a\) 的 jordan 標準型.
關於秩 1 攝動的特徵值的 brauer 定理對於 jordan 塊有類似的結論：在某種條件下，復方陣的乙個特徵值可能通過乙個秩 1 攝動幾乎任意地加以變動而不破壞該矩陣的 jordan 結構的其餘部分.
定理 3：設 \(n \geqslant 2\), 又令 \(\lambda,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 是 \(a\in m_n\) 的特徵值. 假設存在非零的向量 \(x,y \in \mathbb^n\), 使得 \(ax=\lambda x\), \(y^*a=\lambda y^*\), 且 \(y^*x \neq 0\). 那麼
(a) 對某些正整數 \(k,n_1,\cdots,n_k\) 以及某個 \(\ \subset \\), \(a\) 的 jordan 標準型是
\begin
[\lambda]\oplus j_(v_1) \oplus \cdots \oplus j_(v_k)
\end
(b) 對任何滿足 \(\lambda+v^*x \neq \lambda_j(j=2,\cdots,n)\) 的 \(v \in \mathbb^n\), \(a+xv^*\) 的 jordan 標準型是
\begin
[\lambda+v^*x]\oplus j_(v_1) \oplus \cdots \oplus j_(v_k)
\end
Jordan 標準型的例項
練習一下如何把乙個矩陣化為 jordan 標準型.將矩陣 begin a begin 2 6 15 1 1 5 1 2 6 end end 化為 jordan 標準型.矩陣 a 的特徵多項式為 begin lvert lambda i a rvert begin lambda 2 6 15 1 la...
約當標準型 特徵向量到約當標準型
線性變換及其矩陣表示和相似變換 給定一組有限維向量空間v的基，乙個線性變換t v v 的關於這組基的 矩陣分量 t i,j 定義為 t ej sigma i 1 to n,t i,j ei t 1,j e1 t 2,j e2 t n,j en 也就是說，這個線性變換把基向量ej變換成乙個新向量，它是...
二次型的標準型 規範型
若二次型只有平方項，則稱二次型為標準型 如果標準型中，係數只有1，1和0，那麼稱為二次型的規範型，因為標準型中，1，1，0的個數是由正負慣性指數決定的，而合同的矩陣正負慣性指數相同，因此相互合同的矩陣乘以相同的向量組得到的二次型的規範型一定相同。此外，求乙個二次型的正負慣性指數，是通過求特徵值得到，...