二次型在一點的 二次型及其標準型

本文主要就二次型及其標準型中最基礎的概念進行總結歸類，這一點是考研中的基礎題目，也是乙個考研中大家容易忽略的乙個板塊，有時候容易出現計算錯誤，大家一定要注意，把這一塊練好，希望大家予以重視.

（1）式也可以寫成

我們把（2）式中的係數按照原來順序排列成乙個n級矩陣a:

則稱 a 是二次型

的矩陣，它是對稱矩陣.

令則二次型（1）可以寫成

其中 a 是二次型

的矩陣. 令

設c是數域k上的n級可逆矩陣，則關係式

稱為變數

到的乙個非退化線性變換.

n 元二次型 x'ax 經過非退化線性替換 x=cy 變成

記 則 (7) 式可寫成

這是變數

的乙個二次型，由於

因此b是對稱矩陣，從而b正好是二次型y'by的矩陣.

數域k上的兩個n元二次型x'ax和y'by，如果存在乙個非退化線性替換

把 x』ax 變成 y』by, 那麼稱二次型 x』ax 和 y』by 等價，記作

數域k上的兩個n級矩陣a與b，如果存在k上的乙個n級可逆矩陣c，使得

那麼稱a與b合同，記作

命題1. 數域k上的兩個n元二次型x'ax和y'bx等價當且僅當n級對稱矩陣a與b合同.

命題2. 實數域上的n元二次型x'ax有乙個標準形為

其中 是 a 的全部特徵值.

例1.作非退化線性替換把數域k上的下述二次型化成標準型，並且寫出所作的非退化線性替換：

(1)

(2)

逐個地配成完全平方的形式：令則

所作的線性替換為

其係數矩陣的行列式為

因此這個線性替換是非退化的.

（2）留給大家自己做練習.

引理1. 設a,b都是數域k上的n級矩陣，則a合同於b當且a經過一系列成對初等行，列變換可以變成b，此時對e只作其中的初等列變換得到的可逆矩陣c，就使得

定理1.數域k上任一對稱矩陣都合同於乙個對角矩陣.

定理2. 數域k上任一n元二次型都等價於乙個只含平方項的二次型.

定理3. 數域k上n元二次型x'ax的任一標準型中，係數不為0的平方項個數等於它的矩陣a的秩.

證明：設x'ax經過非退化線性替換x=cy化成標準形

其中 都不為 則因此

二次型 x'ax 的矩陣 a 的秩就稱為二次型 x'ax 的秩.

例2. 用正交替換把下述實二次型化成標準形：

a的全部特徵值為是2,5,-1.

分別對特徵值2,5,-1,求出相應的齊次線性方程組的乙個基礎解系，並且把它們分別單位化可得：

令 則 t為正交矩陣，且令則

例3. 設a是數域k上的n級矩陣，證明：a是斜對稱矩陣當且僅當對於

中任一列向量有 .

必要性 設a是斜對稱矩陣，則a'=-a.於是

又因為

是 1 級矩陣，因此

從而可得

即充分性 設 a 的列向量組為

由己知條件可知

因此a是斜對稱矩陣.

巖寶小提示：我們在證明充分性的時候，利用了基本矩陣的乘法規律，由於

因此由於

因此有

由此看出,為了單獨取出a的(i,i)元

,應當用

左乘a,

右乘a, 即

類似地，為了單獨取出a的(i, j)元

,應當計算

它就等於

1.設

為數域f上的乙個二次型，a為這個二次型的矩陣，

為矩陣a的乙個特徵值.證明：存在不全為0的數

使得2.設a為乙個 n 階實對稱矩陣,|a|<0.證明: 必存在實n維列向量

使得 加入2023年數學考研交流qq群：282581218

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