相合以及對角化

介紹相合的定義以及其引出的標準型.

定義 1：設給定 $a,b \in m_n$，如果存在乙個非奇異的矩陣 $s$，使得

(a) $b=sas^*$，那麼就說 $b$ 與 $a$ 是* 相合的（也稱為星相合的或者共軛相合的）.

(b) $b=sas^t$，那麼就說 $b$ 與 $a$ 是相合的，或者 $^t$相合的（也稱為$t$ 相合的）.

乙個矩陣乘以非奇異矩陣不改變其秩的大小，所以相合的（ $\\*$ 相合的）矩陣具有同樣的秩. 如果 $a$ 是 hermite 的，則 $sas^*$ 亦然，此結論即便當 $s$ 為奇異時也成立；如果 $a$ 是對稱的，則 $sas^t$ 亦然，此結論即便當 $s$ 為奇異時也仍然成立. 我們感興趣的是保持矩陣型別不變的相合： $\\*$ 相合對 hermite 矩陣以及 $^t$ 相合對對稱矩陣. 這兩種型別的相合與相似共享乙個重要的性質.

定理 1：$\\*$ 相合與相合都是等價關係

證明：自反性：$a=iai^*$. 對稱性：如果 $a=sbs^*$ 並且 $s$ 是非奇異的，那麼 $b=s^a(s^)^*$. 傳遞性：如果 $a=s_1bs_1^*$ 且 $b=s_2cs_2^*$，那麼 $a=(s_1s_2)c(s_1s_2)^*$. 對於 $^t$ 相合，用同樣的方式加以驗證.

對於 $\\*$ 相合以及 $^t$ 相合可以得到何種標準型呢？也就是說，如果將 $m_n$ 分劃成 $\\*$ 相合（$^t$ 相合）的等價類，對於每乙個等價類的標準代表元可以作何種選擇呢？首先考慮簡單的情形：在 $\\*$ 相合之下 hermite 矩陣的標準型以及在 $^t$ 相合之下復對稱矩陣的標準型.

定義 2：設 $a \in m_n$ 是 hermite 的. $a$ 的慣性指數是有序的三陣列

\begin

i(a)=(i_+(a), \quad i_-(a),\quad i_0(a))

\end

其中 $i_+(a)$ 是 $a$ 的正的特徵值的個數，$i_-(a)$ 是 $a$ 的負特徵值的個數，而 $i_0(a)$ 則是 $a$ 的為零的特徵值的個數. $a$ 的符號差是量 $i_+(a)-i_-(a)$.

由於 $a$ 是 hermite 的（正規的），則其可以酉對角化，對角元為特徵值，所以 $\mathrm\,a=i_+(a)+i_-(a)$.

設 $a \in m_n$ 是 hermite 矩陣，並記 $a=u\lambda u^*$，其中 $\lambda=\mathrm(\lambda_1,\cdots, \lambda_n)$，且 $u$ 是酉矩陣. 為方便起見，假設正的特徵值在 $\lambda$ 的對角元素中首先出現，接下是負的特徵值，最後是為零的特徵值. 定義實的非奇異的對角矩陣

\begin

d=\mathrm ( \underbrace, \cdots, \lambda_^}_} ,\underbrace)^,\cdots, ( \lambda_)^ }_} ,\underbrace_} )

\end

那麼 $\lambda = di(a)d$，其中實矩陣

\begin

i(a)= i_ \oplus ( -i_ \oplus ) 0_

\end

就是 $a$ 的慣性矩陣. 最後有 $a=u\lambda u^*=udi(a)du^*=si(a)s^*$，其中 $s=ud$ 是非奇異的. 我們就證明了如下的定理.

定理 2：每乙個 hermite 矩陣都與它的慣性矩陣 $\\*$ 相合.

同樣地，可以證明：如果 $a \in m_n(\mathbb)$ 是對稱的，則 $a$ 通過乙個實矩陣與它的慣性矩陣相合.

慣性矩陣會成為 $\\*$ 相合於 $a$ 的矩陣的等價類的乙個非常好的標準代表，如果我們知道 $\\*$ 相合的 hermite 矩陣有同樣的慣性指數. 這就是下乙個定理——sylvester 慣性定律.

定理 3（sylvester）：hermite 矩陣 $a,b \in m_n$ 是 $\\*$ 相合的，當且僅當它們有相同的慣性指數，也就是說，當且僅當它們的正的特徵值的個數以及負的特徵值的個數相同.

證明：由於 $a$ 與 $b$ 都 $\\*$ 相合於自己的慣性矩陣，故而如果它們有相同的慣性指數，那麼它們必定是 $\\*$ 相合的. 反過來，假設 $s \in m_n$ 是非奇異的且 $a=sbs^*$. 相合的矩陣有同樣的秩，所以由此推出 $i_0(a)=i_0(b)$，從而只要證明 $i_+(a)=i_+(b)$ 就夠了. 設 $v_1,v_2,\cdots, v_$ 是 $a$ 的與正的特徵值 $\lambda_1(a),\cdots, \lambda_$ 相伴的標準正交的特徵向量，又設 $s_+(a)=\mathrm \\}$. 如果 $x=\alpha_1v_1+\cdots + \alpha_v_ \neq 0$，那麼 $x^*ax=\lambda_1(a) \lvert \alpha_1 \rvert ^2 + \cdots + \lambda_(a) \lvert \alpha_ \rvert ^2 >0$；即對子空間 $s_+(a)$ 中所有非零的 $x$ 都有 $x^*ax >0$. 子空間 $s^*s_+(a)= \\, x \in s_+(a) \}$ 也有維數 $i_+(a)$. 如果 $y=s^*x \neq 0$ 且 $x \in s_+(a)$，那麼 $y^*by=x^*(sbs^*)x=x^*ax >0$，所以 $i_+(b) \geqslant i_+(a)$. 在上面的推理過程中將 $a$ 與 $b$ 倒過來，就會推出 $i_+(a) \geqslant i_+(b)$. 所以 $i_+(a) = i_+(b)$.

由上面的定理可得出：hermite 矩陣 $a\in m_n$ 與單位矩陣 $\\*$ 相合，當且僅當它是正定的.

乙個 hermite 矩陣的按照非增次序排列的特徵值各自的符號在 $\\*$ 相合之下不變，但是它們的大小可以改變. 大小改變的界限範圍在如下定量形式的 sylvester 定理中給出.

定理 4（ostrowski）：設 $a,s \in m_n$，其中 $a$ 是 hermite 的，而 $s$ 是非奇異的. 設 $a$，$sas^*$ 以及 $ss^*$ 的特徵值都按照非減的次序排列. 設 $\sigma_1 \geqslant \cdots \geqslant \sigma_n >0 $ 是 $s$ 的奇異值. 對每個 $k=1,\cdots, n$. 存在乙個正實數 $\theta_k \in [\sigma_n^2, \sigma_1^2]$，使得

\begin

\lambda_k(sas^*) = \theta_k\lambda_k(a)

\end

如果在 ostrowski 定理中有 $a=i\in m_n$，那麼所有 $\lambda_k(a)=1$ 且 $\theta_k=\lambda_k(ss^*)=\sigma_$. 如果 $s\in m_n$ 是酉矩陣，那麼 $\sigma_1=\sigma_n=1$ 且所有 $\theta_k=1$，這就表示特徵值在酉相似下的不變性.

定理 5：設 $a,b \in m_n$ 是對稱的. 則存在乙個非奇異的 $s \in m_n$，使得 $a=sbs^t$ 的充分必要條件是 $\mathrm\,a=\mathrm\,b$.

定義 3：矩陣 $a \in m_n$ 稱為可共軛對角化的，如果存在乙個非奇異的 $s \in m_n$ 以及乙個對角矩陣 $\lambda \in m_n$，使得 $a=s\lambda \bar^$.

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