介紹共軛相似以及共軛對角化的相關定義以及基本推論.
定義 1：矩陣 \(a,b \in m_n\) 稱為共軛相似的，如果存在乙個非奇異的 \(s \in m_n\) 使得 \(a=sb \bar^\).
如果 \(u\) 是酉矩陣，那麼 \(\bar^=\bar^*=u^t\)，所以酉相合（\(a=ubu^t\)）以及酉共軛相似（\(a=ub\bar^\)）是相同的；如果 \(q\) 是復正交的，則有 \(\bar^=\bar^t=q^*\)，所以復正交的 \(\\*\) 相合（\(a=qbq^*\)）與復正交的共軛相似（\(a=qb\bar^\)）是相同的；如果 \(r\) 是實的非奇異矩陣，那麼 \(\bar^=r^\)，故而實相似（\(a=rbr^\)）與實共軛相似（\(a=rb\bar^\)）是相同的.
對於 \(1\) 階矩陣，相似是平凡的（\(sas^=a\)），但是共軛相似是乙個旋**如果 \(s = \lvert s \rvert \mathrm^ \theta}\)，則有 \(sas^=\lvert s \rvert \mathrm^ \theta}a\lvert s \rvert ^ \mathrm^ \theta} = \mathrm^ \theta} a\). 因此，選擇合適的 \(\theta\)，可以使得每個 \(1\times 1\) 復矩陣 \([a]\) 都共軛相似於 \([\bar]\)、\([-a]\)、\([\lvert a \rvert]\).
共軛相似性是 \(m_n\) 上的乙個等價關係. 那麼哪些等價類包含分塊三角矩陣、三角矩陣或者對角矩陣的代表元？
定義 2：矩陣 \(a \in m_n\) 稱為是可共軛三角化的（可分塊共軛三角化的），如果存在乙個非奇異的 \(s \in m_n\)，使得 \(s^a\bar\) 是上三角的（分塊上三角的）； 稱它是可共軛對角化的，如果 \(s^a\bar\) 是對角的. 稱它是可共軛酉三角化的，或者可共軛酉對角化的，如果它酉相合於乙個所要求形狀的矩陣.
如果 \(a \in m_n\) 可以共軛三角化，又如果 \(s^a\bar=\delta\) 是上三角的，則計算顯示 \(\delta \bar = s^(a\bar)s\) 的主對角元素是非負的. 反之，如果 \(a\bar\) 的每個特徵值都是非負的，那麼先前的結論就確保 \(a\) 是可以共軛酉三角化的. 如果 \(a\bar\) 的某個特徵值不是實的，或者是負的實數，那麼 \(a\) 不可以共軛酉三角化，但是它可以分塊共軛三角化，其中的分塊是 \(1\) 階以及 \(2\) 階的對角分塊，這些對角分塊與 \(a\bar\) 的非實的共軛的特徵值或者成對相等的負實的特徵值相關聯.
定理 1：設給定 \(a \in m_n\). 則以下諸命題等價.
(a) \(a\) 可以共軛三角化
(b) \(a\) 可以共軛酉三角化
(c) \(a\bar\) 的每個特徵值都是非負的實數
如果 \(a \in m_n\) 是可以共軛酉對角化的，那麼就存在乙個酉矩陣 \(u\)，使得 \(a=u\lambda \bar^ = u \lambda u^t\)，其中 \(\lambda = \mathrm (\lambda_1,\cdots, \lambda_n)\)，由此推出 \(a\) 是對稱的. 反之，如果 \(a\) 是對稱的，那麼 \(a\) 是可以共軛酉對角化的.
定理 2：矩陣 \(a \in m_n\) 是可以共軛酉對角化的，當且僅當它是對稱的.
我們可以怎樣來決定乙個給定的非對稱的方陣是否可以通過（必定非酉的）共軛相似實現共軛對角化？如果 \(s=[s_1 \quad \cdots \quad s_n]\) 是非奇異的且按照它的列予以分劃，又如果 \(s^a\bar=\lambda = \mathrm (\lambda_1,\cdots, \lambda_n)\)，那麼 \(a\bar =s\lambda\)，所以對 \(i=1,\cdots, n\) 有 \(a \bar_i = \lambda_i s_i\).
定義 3：設給定 \(a \in m_n\). 乙個非零向量 \(x \in \mathbb^n\) 使得對某個 \(\lambda \in \mathbb\) 有 \(a \bar =\lambda x\)，這個向量稱為 \(a\) 的乙個共軛特徵向量；純量 \(\lambda\) 稱為 \(a\) 的乙個共軛特徵值. 我們稱共軛特徵向量 \(x\) 與共軛特徵值 \(\lambda\) 相伴的. 元素對 \(\lambda\)，\(x\) 稱為 \(a\) 的乙個共軛特徵對.
\(a\) 的共軛特徵向量生成的子空間是一維的共軛不變子空間. 引理 1 確保每乙個 \(a \in m_n\) 都有乙個維數為 \(1\) 或者 \(2\) 的共軛不變子空間.
如果 \(s^a\bar=\lambda\) 是對角的，則恒等式 \(a\bar =s\lambda\) 確保 \(s\) 的每一列都是 \(a\) 的乙個共軛特徵向量，所以存在 \(\mathbb^n\) 的一組由 \(a\) 的共軛特徵向量組成的基. 反之，如果存在 \(\mathbb^n\) 的一組由 \(a\) 的共軛特徵向量組成的基
\(\\)，那麼 \(s=[s_1 \quad \cdots \quad s_n]\) 就是非奇異的，對某個對角矩陣 \(\lambda\) 有 \(a\bar =s\lambda\)，且 \(s^a\bar=\lambda\). 由此得出結論：\(a \in m_n\) 是可以共軛對角化的，當且僅當它有 \(n\) 個線性無關的共軛特徵向量.
如果 \(a\bar=\lambda x\)，那麼 \(a\barx=a(\overline})=a(\overline) = \bara\bar = \bar \lambda x= \lvert \lambda \rvert ^2x\)，所以 \(\lambda\) 是 \(a\) 的共軛特徵值，僅當 \(\lvert \lambda \rvert ^2\) 是 \(a\bar\) 的乙個（一定非負的）特徵值. 舉個例子，對於 \(a=\begin 0 & -1 \\ 1 & 0 \end\)，由於 \(a\bar=\begin -1 & 0 \\ 0 & -1 \end\) 沒有負的特徵值，所以 \(a\) 沒有共軛特徵值，從而也沒有共軛特徵向量.
推論 1：設給定 \(a \in m_n\)，並假設 \(a\bar\) 有 \(k\) 個不同的非負特徵值.
(a) 矩陣 \(a\) 至少有 \(k\) 個線性無關的共軛特徵向量
(b) 如果 \(k=0\)，則 \(a\) 沒有共軛特徵向量
(c) 如果 \(k=n\)，那麼 \(a\) 是可以共軛對角化的.
我們的目的是要對乙個給定的矩陣是否可以共軛對角化給出乙個簡單的條件，而作為第一步，我們來證明共軛對合矩陣共軛相似於單位矩陣.
引理 1：設給定 \(a \in m_n\). 那麼， \(a\bar=i\) 當且僅當存在乙個非奇異的 \(s \in m_n\)，使得 \(a=s\bar^\)
現在可以來陳述共軛對角化的乙個必要且充分條件了.
定理 3：給定 \(a \in m_n\) 是可以共軛對角化的，當且僅當 \(a\bar\) 可以對角化（通過相似），\(a\bar\) 的每乙個特徵值都是非負實數，且 \(\mathrm\, a = \mathrm\, a\bar\).
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