矩陣快速冪

2022-06-30 05:24:09 字數 913 閱讀 6986

基礎知識:線性代數

一、先以斐波那契入手——f(n)=f(n-1)+f(n-2)

我們要先確定目標矩陣

| f(n)    |   

| f(n-1) |    這個就是目標矩陣(設為x(n))

之後我們就要去尋找那個引數矩陣(矩陣裡面的值都可以看成是已知的,在計算過程中其中不含未知數)

先思考我們如何去尋找目標矩陣的第一位f(n)的值,由斐波那契公式我們就知道這個引數矩陣a的第一行的值一定都是1,因為按照線性代數矩陣相乘原則a*x,就是a矩陣的第n行的每一項乘與x矩陣的第n列的每一項

相乘之後就是f(n)=f(n-1)+f(n-2)

那麼引數矩陣第二列相信也能推出來,那麼最後引數矩陣就是:

| 1  1 |  

| 0  1 |

| f(n-1) |            *           | 1  1 |          =         | f(n)    |

| f(n-2) |                        | 1  0 |                     | f(n-1) |

二、如果把式子換成 f(n)=af(n-1)+bf(n-2),那麼就只需要把第一行換成字母a、b即可(a、b可不是未知數)

引數矩陣

| a  b |         

| 1  0 |

其他的都不變就可以

快速冪(矩陣快速冪)

求 3 0 3 1 3 n mod 1000000007 input 輸入乙個數n 0 n 10 9 output 輸出 計算結果 sample input 3sample output 40 分析 利用等比數列的求和公式得所求和是 3 n 1 1 2,如果暴力求3 n 1 會超時,這裡引入快速冪來...

快速冪 矩陣快速冪

快速冪 正常情況下求乙個數的冪時間複雜度為o n 而快速冪能把時間複雜度降到o logn 舉個例子 求5的13次方 思想首先把13化為二進位制 1101,即13 1101 8 1 4 1 2 0 1 1 即5 13 58 1 54 1 52 0 5 1 15 5 8 1 5 4 1 5 2 0 5 ...

快速冪 矩陣快速冪

快速冪 我們求a ba b ab最直接的方法就是把a乘b次這樣的話複雜度就是o n o n o n 但是在比賽時面對1e9的資料時還是會輕鬆超時的,此時就需要一種更快的乘法來幫助我們 我們把b拆成二進位制的形式得到a ba b ab a 10.01 a a1 0.01此時對b分解得到的序列10.01...