揹包問題總結

揹包問題是一大類問題。

我們不妨設有\(n\)個物品，揹包容量為\(m\)，每個物品大小為\(c\)，個數為\(d\)，價值為\(w\)。

大寫字母表示求和。

01揹包，完全揹包，分組揹包：直接dp即可。時間複雜度\(o(nm)\)。

多重揹包：單調佇列優化或二進位制拆分。\(o(nm)\)或\(o(nmlogd)\)。列舉餘數進行單調佇列。

樹形揹包：選擇父親才能選擇兒子。

樹形dp或者dfs序列上dp。建議後者。\(o(nm)\)。

超大揹包：體積很大，價值很小。

按照價值dp即可。dp(i,j)表示考慮到i，價值為j，最小體積。\(o(n^2w)\)，即\(o(nw)\)。

價值體積都很大的揹包：中途相遇法。\(o(2^})\)。

01揹包，\(n,m\)都比較大，但\(c\)很小：

把物品按照\(c\)整理。

按照c去依次計算，設\(f(x,i)\)表示考慮到體積為\(x\)的物品，容量為\(i\)。

對於模\(x\)意義下相等的數，從小到大滿足決策單調性，使用分治，可以把複雜度降低至\(o(nlogn+mclogm)\)。

分數揹包：直接按照\(\frac\)排序，貪心選擇。\(o(nlogn)\)。『

超多揹包：\(m,d\)都很大。只有\(w\)比較小。

考慮分數揹包的貪心做法，但這個顯然是錯誤的。

不過可以發現，只有對於每個物品的零散部分才可能出錯。

把每個物品拆分為兩個部分：小於等於\(w\)的部分。大於\(w\)的部分。

後者直接貪心即可。前者使用「超大揹包」和單調佇列優化即可。\(o(n^2w^2)\)。

還有幾種不屬於揹包問題，但是差不多的問題。

完全揹包計數：參見此題。

沒有容量，只有價值或者代價，同時選擇有額外價值的揹包：

考慮文理分科模型，或者某種最小割。

沒了。希望自己情感事業一帆風順。

揹包問題 01揹包總結

寫這篇部落格的原因是因為自己初學揹包的時候覺得好玄學。只是知道怎麼寫，但是具體是為什麼覺得很玄妙。在此其實希望和我一樣的小白萌新早點明白其中的原理，其實原理很簡單，只要懂了這個圖，我想01揹包就不成問題了。首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。關於01揹包的題目暫時整理了一點。1.簡單01揹包...

揹包問題總結

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揹包問題主要是分為三種 0 1揹包，完全揹包，多重揹包 1 0 1揹包 定義 何謂0 1揹包，可以這樣想，那裡有一堆值錢的東西，每一樣東西只有一件，他們的價值和體積都不一樣，現在要你從這n件裡面挑選一些放到乙個容量一定的揹包裡面，使得你的揹包裡的東西總價值最大。對於這些東西的每一件，你可以選擇放進你...