集合劃分題解

這道題思路挺清奇的。屬於那種既考演算法模板又考思維的一類題。

看到乙個點，可以放在\(a\)或\(b\)兩個集合，就要聯想到2-sat問題。

這道題如果只讓判斷是否存在合法方案，並輸出任意一種方案，那這題就屬於2-sat問題的模板。

但是這題比較難的一點就是求方案數。

一般的2-sat問題能不能求方案數呢？我在網上搜了一下，沒有找到滿意的答案。

那麼這道題肯定就是要挖掘題目的性質了。

考慮現在已經用普通的tarjan演算法求出來一種合法方案了，用這一種合法方案去求出其他的合法方案。那麼無非就是試圖將a集合中的元素放到b集合中，或者將b集合中的元素放到a集合中，或者交換一下a集合、b集合中的元素唄。

乙個很重要的性質：我們發現每次最多只能將a集合中的乙個元素放到b集合中。形式化一點，假設我們已經求出來一種合法方案\(s\)，那麼一定不會存在這樣的合法方案\(t\)，使得存在兩個元素\(x, y\), 在\(t\)這種方案下\(x, y\)在\(b\)集合中，但在\(s\)這種方案下\(x,y\)卻處於\(a\)集合中。

原因是因為如果\(x,y\)都在\(a\)集合中,那麼說明\(x,y\)之間一定有邊，那麼\(x,y\)就不能放在\(b\)集合中了。

反之，也一定不會存在這樣的合法方案\(t'\)，使得存在兩個元素\(x,y\)，在\(t'\)這種方案下\(x,y\)在\(a\)集合中，但在\(s\)這種方案下\(x,y\)卻處於\(b\)集合中。原因是類似的。

所以，要想從已知的合法方案\(s\)，構造出其他合法方案\(t\)，只有三種情況。

從\(a\)中取出乙個元素\(x\)，丟到\(b\)中去。需滿足的條件：所有與\(x\)相連的點\(y\)，都必須在\(a\)中。

從\(b\)中取出乙個元素\(y\)，丟到\(a\)中去。需滿足的條件：所有與\(x\)不相連的點\(y\)，都必須在\(b\)中。

從\(a\)中取出乙個元素\(x\)，從\(b\)中取出乙個元素\(y\)，交換\(x,y\)。需滿足的條件：\(\forall (x,u)\in e\)，且\(u\neq y\)，都有\(u\in a\)；\(\forall (y, v)\notin e\)，且\(v\neq x\)，都有\(v\in b\)。

時間複雜度：\(o(n^2)\)。

然後呢？然後就做完了。

#include #include #include #include #include #include using namespace std;
#define filein(s) freopen(s".in", "r", stdin)
#define fileout(s) freopen(s".out", "w", stdout)
inline int read(void) 
while (ch >= '0' && ch <= '9') 
return f * x;
}const int maxn = 5005, maxm = maxn * maxn * 2;
int n, head[maxn << 1], tot;
bool g[maxn][maxn], ok = true;
bool ins[maxn << 1];
int dfn[maxn << 1], low[maxn << 1], idx, num, cnt, stk[maxn << 1], top;
int ans[maxn << 1];
int tmp[maxn];
int p[maxn];
struct edge 
edge(int _y, int _next) : y(_y), next(_next) {}
} e[maxm];
sets;
inline void connect(int x, int y) 
void tarjan(int x)  else if (ins[y]) low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}if (low[x] == dfn[x])  while (y != x);
}}inline void solve(void) 
if (flag) 
}else 
if (flag) }}
long long sum = 0;
long long res3 = 1ll * res1 * res2;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
if (siz1 != 1) sum += res1;
if (siz2 != 1) sum += res2;
if (siz1 != 0 && siz2 != 0) sum += res3 + 1;
printf("%lld\n", sum);
}int main() 
}for (int i = 1; i <= n; ++ i)  else }}
for (int i = 1; i <= 2 * n; ++ i) if (!dfn[i]) tarjan(i);
if (!ok) 
solve();
return 0;
}

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集合劃分問題

集合的劃分

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