歐氏空間
$v$是$\mathbb$上的線性空間，定義對映
\sigma: v\times v \to \mathbb
對於$\alpha, \beta \in v$，將$\sigma(\alpha, \beta)$記為$\left$，若$\sigma$滿足：對稱性：$\left=\left$
(右)齊次性：$\left=k\left$
(右)可加性：$\left=\left+\left$
非負性：$\left≥0$，且$\left=0\leftrightarrow\alpha=0$
則稱$\sigma$為$v$上的(實)內積，當$v$是有限維時，稱其為歐氏空間($\mathbb^n$為標準歐氏空間)
實際上$\alpha$是乙個向量，$\beta$是乙個向量，$\left$表示向量$\alpha$與向量$\beta$的內積，結果是乙個實數
實內積的性質(左)齊次性：$\left=k\left$
(左)可加性：$\left=\left+\left$
$\left=k_1\left+···k_s\left$
$\left=k_1\left+···k_s\left$
復內積$v$是$\mathbb$上的線性空間，定義對映
\sigma: v\times v \to \mathbb
對於$\alpha, \beta \in v$，將$\sigma(\alpha, \beta)$記為$\left$，若$\sigma$滿足：共軛對稱性：$\left=\overline$
(右)齊次性：$\left=k\left$
(右)可加性：$\left=\left+\left$
非負性：$\left≥0$，且$\left=0\leftrightarrow\alpha=0$
則稱$\sigma$為$v$上的(復)內積，當$v$是有限維時，稱其為酉空間($\mathbb^n$為標準歐氏空間)
復內積的性質(左)齊次性：$\left=\bar\left$
(左)可加性：$\left=\left+\left$
$\left=\overline\left+···\overline\left$
$\left=k_1\left+···k_s\left$
線性組合的內積的矩陣表示
$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$是$\mathbb$上的內積空間$v$中的兩個向量組，則
\begin
\left\\
=(\overline,...,\overline)\begin\left&\cdots &\left\\ \vdots & \ddots &\vdots \\\left &\cdots & \left\end\beginl_1\\ \vdots \\ l_t\end
\end
gram矩陣
$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$是$\mathbb$上的內積空間$v$中的兩個向量組，則
\begin\left&\cdots &\left\\ \vdots & \ddots &\vdots \\\left &\cdots & \left\end
稱為$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$的協gram矩陣，記為$g(\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t)$
$\alpha_1,...,\alpha_s$是$\mathbb$上的內積空間$v$中的乙個向量組，則
\begin\left&\cdots &\left\\ \vdots & \ddots &\vdots \\\left &\cdots & \left\end
稱為$\alpha_1,...,\alpha_s$的gram矩陣，記為$g(\alpha_1,...,\alpha_s)$
$\alpha_1,...,\alpha_s$是$\mathbb^n$中的乙個向量組，記$a=(\alpha_1,...,\alpha_s)$，則
g(\alpha_1,...,\alpha_s)=a^ha
其中，$a^h=(\bar)^t=\overline$
$\alpha_1,...,\alpha_s$是$\mathbb^n$中的乙個向量組，記$a=(\alpha_1,...,\alpha_s)$，則
g(\alpha_1,...,\alpha_s)=a^ta
$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$是$\mathbb$上的內積空間$v$中的兩個向量組，如果$\alpha_1,...,\alpha_s$可由$\beta_1,...,\beta_t$線性表出，且
(\alpha_1,...,\alpha_s)=(\beta_1,...,\beta_t)a
則g(\alpha_1,...,\alpha_s)=a^hg(\beta_1,...,\beta_t)a
gram矩陣的性質$rank(g)=rank(\alpha_1,...,\alpha_s)$
hermite性：$g^h=g$
非負性：$\forall x\in \mathbb^s$，復二次型$x^hgx≥0$，並且$g$正定$\leftrightarrow \alpha_1,...,\alpha_s$線性無關
Gram矩陣的意義
鏈結1 鏈結2 gram matrix實際上可看做是feature之間的偏心協方差矩陣 即沒有減去均值的協方差矩陣 在feature map中，每乙個數字都來自於乙個特定濾波器在特定位置的卷積，因此每個數字就代表乙個特徵的強度，而gram計算的實際上是兩兩特徵之間的相關性，哪兩個特徵是同時出現的，哪...
Gram矩陣的理解
gram矩陣實際上是各個向量 feature 之間的偏心協方差矩陣，即沒有減去均值的協方差。在cnn style transfer 中，gram矩陣用來產生style picture和generated picture間的誤差函式 這裡gram是 在feature map中，每個數字都是特定卷積核在...
Rotate Matrix 旋轉矩陣性質分析
部落格 自 學過矩陣理論或者線性代數的肯定知道正交矩陣 orthogonal matrix 是乙個非常好的矩陣，為什麼這麼說？原因有一下幾點 正交矩陣每一列都是單位矩陣，並且兩兩正交。最簡單的正交矩陣就是單位陣。正交矩陣的逆 inverse 等於正交矩陣的轉置 transpose 同時可以推論出正交...