對於形似\(z=f(u_1,u_2,...,u_n),\)其中\(u_i=g_i(x_i)\)的多元復合函式，對其二階導數的考察常常會經過繁瑣而重複的運算，且容易在連續運用鏈式法則時犯錯。本文將提出該類題型的通解以及理論推導過程供參考。
例1：設\(z=f(x^2-y^2,e^)\),其中\(f\)具有二階連續偏導數，求 \(\frac\).
通過鏈式法則，我們可以得到結果\(\frac=-4xyf^_+2(x^2-y^2)e^f^_+xye^f_+e^(1+xy)f^_2\)
對於式子中的\(f^_、f^_\)的出現，我們可以聯想到矩陣的下標，由此引發我們對該式子簡化形式甚至該類題型通解的思考。
我們定義[1]
，對於乙個函式\(f: ℝ^n\rightarrow ℝ ,\pmb \rightarrow f(\pmb),\pmb\in ℝ^n\),即，\(\pmb=[x_1,x_2,x_3,...,x_n]^t\),偏導數為：
\[\frac= \lim_ f\frac)}\\.\\.\\.\\\frac= \lim_\frac)} \tag
\]我們寫作行向量的形式，記作：
\[∇_}f=grad\ f=\left[\begin\frac)} & \frac)} & ... & \frac)}\\\end \right] \inℝ^n \tag
\]例如，對於函式\(f(x,y)=(x+2y^3)^2\),我們有：
\[∇f=\left[\begin2(x+2y^3) & 12(x+2y^3)y^2\end \right] \inℝ^ \tag
\]為了探求文章開始所提出問題通解形式的**，繞不開的乙個重要步驟是對梯度矩陣\(∇f\)進行求導，我們將在推導的過程中單獨進行分析。
設\(z=f(u_1,u_2,...,u_n),\)其中\(u_i=g_i(x_i)\)，求\(\frac\).
\[\frac=\frac }·\frac} =\left[\begin\frac & \frac & ... & \frac\end \right] \left[\begin\frac \\ \frac \\ ... \\ \frac\end \right] \tag
\]為了簡化形式，我們令：
\[\pmb=\left[\begin\frac & \frac & ... & \frac\end \right]^t \tag
\]那麼:
\[\frac=∇_}f·\pmb \tag
\]接下來，我們需要求解
\[\frac}(∇_}f·\pmb \tag)
\]\[\frac}(∇_}f·\pmb )=\frac}∇_}f·\pmb + ∇_}f·\frac}\pmb \tag
\]\(\frac}\pmb\)的答案容易得到的，我們著重於討論\(\frac}∇_}f·\pmb\),尤其是\(\frac}∇_}f\)的結果。
經分析：
\[\frac}∇_}f=\frac}^t}·\frac^t}}·∇_}f=\frac^t}}·\frac}^t}·∇_}f \tag
\]問題被簡化轉化為解決向量\((∇_}f)\)對向量\((\pmb^t)\)求導的問題。
我們對這個運算進行進一步分析，這個運算的實質是梯度矩陣中的元素逐個對\(u_i\)分別求導，結果顯然是乙個\(2×2\)的方陣，而這個矩陣在數學上被定義為黑塞矩陣（hessian matrix），記作\(h(f)\),它的具體形式是：
\[a= \left[\begin \frac & \frac & \cdots & \frac\\ \frac & \frac & \cdots & \frac \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac & \frac & \cdots & \frac \end \right]\tag
\]其規律是顯而易見的。
於是，引入\(h(f)\)後，我們可以繼續化簡：
\[\frac^t}}·\frac}^t}·∇_}f=\frac^t}}·\left[\begin \frac & \frac & \cdots & \frac\\ \frac & \frac & \cdots & \frac \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac & \frac & \cdots & \frac \end \right]=\pmb^t·h_}(f)\tag
\]所以
\[\frac=\pmb^t·h_}(f)·\pmb+∇_}f·\frac}\pmb=\pmb^t·h_}(f)·\pmb+∇_}f·\pmb}\tag
\]其中
\[\pmb}=\left[\begin\frac & \frac & ... & \frac\end \right]^t\tag
\]當然在實際計算過程中，由於\(\pmb\)的值已經被計算，所以直接計算\(\frac}\pmb\)或許更為便捷。
設\(z=f(u_1,u_2,...,u_n),\)其中\(u_i=g_i(x_i)\)，求\(\frac\).
\[\frac=∇_}f·\pmb \\\frac=\pmb^t·h_}(f)·\pmb+∇_}f·\pmb}\tag
\]
一階邏輯與二階邏輯的區別一元謂詞多元謂詞
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