補了一下概率生成函式。
寫的公式可能不規範請不要介意。
給出某個字串\(s\)，你手中有個字串\(t\)一開始為空。每次隨機往\(t\)後加乙個字元，問\(s\)成為\(t\)的子串的期望次數。
字符集大小為\(c\)。
正解是一條式子。可以做到\(o(n)\)。
介紹下概率生成函式：\(f(x)=\sum_i p(i)x^i\)，\(p(i)\)表示某個要求的變數最終值為\(i\)的概率。
於是有兩條性質：\(f(1)=1\)（即所有概率加起來），\(f'(1)=e\)。\(e\)表示期望，即\(\sum i p(i)\)。
回到這題。設\(f_i\)表示結束的時候長度為\(i\)的概率，\(g_i\)表示長度為\(i\)的時候還沒有結束的概率。\(f(x),g(x)\)分別為它們的生成函式。
顯然有\(f(x)+g(x)=xg(x)+1 (1)\)。
又根據意義可得\(g(x)(\fracx)^l=\sum a_if(x)(\fracx)^(2)\)。其中\(a_i\)表示\(i\)是否為\(s\)的\(border\)。意義：左式表示乙個還不包含\(s\)的串後面硬塞了乙個\(s\)的方案數；但這個時候可能會提前結束，右邊那個就是結束了之後再多塞了\(s_\)。由於在右邊\(f(x)\)相當於欽定了第乙個結束的位置，所以不會算重。
根據這兩個式子亂搞：
對\((1)\)求導得\(f'(x)=(x-1)g'(x)+g(x)\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=g(1)\)。
對\((2)\)代入\(x=1\)得\(g(1)=\sum a_if(1)c^i\)。
兩條式子結合前面給出的兩條概率生成函式的性質，得到\(e=\sum a_ic^i\)。
CTSC2006 歌唱王國
是 sdoi2017 硬幣遊戲的弱化版 但是也不完全一樣 按照硬幣遊戲的題，f x sum a i x i 來刻畫第i位結尾的概率生成函式 然後 g x 表示以i結尾，前面的隨便選。p x 表示字首字尾的匹配 f g f g p 然後g變成形式冪級數，分母乘過去，求導。但是，這個題是 期望 而不是 ...
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