LG P4548 CTSC2006 歌唱王國

在歌唱王國，所有人的名字都是乙個非空的僅包含整數 $1\sim n$ 的字串。

王國裡生活著一大群咕嚕兵，他們靠不停地歌唱首領——牛人酋長們的名字來獲取力量。咕嚕兵每一次歌唱過程是這樣的：首先，他從整數生成器那兒獲得乙個數字，然後花乙個時間單位將此數字唱出來，如果他發現某個牛人酋長的名字已經被歌唱出來（即此名字是歌唱序列的乙個連續子串），那麼這次歌唱過程就立即結束。

歌唱時間是隨機的，無法預料；不過歌唱時間的期望值是固定的，此期望值即平均來說歌唱時間有多長，亦可稱作平均歌唱時間。

王國裡的人非常喜歡歌唱，他們希望歌唱的時間越長越好，所以他們決定罷免一些牛人酋長，使得平均歌唱時間變長。但是他們不能罷免掉所有的牛人酋長，否則他們每次歌唱都無法停止，無法獲取力量；於是他們決定只保留乙個牛人酋長而罷免其餘的牛人酋長。

你的任務是：對於給定的 $n$、牛人酋長的個數 $t$ 以及每乙個牛人酋長的名字，告訴王國裡的人們，對於 $1\leq i\leq t$，如果保留第 $i$ 個牛人酋長，罷免掉其餘的，那麼平均歌唱時間將是多少。

輸出要求：由於這個數字太大，所以你只需輸出這個數的末 $4$ 位數字。如果不足 $4$ 位，則前面補 $0$

設$f_x$為長度為$x$時成功匹配的概率，$g_x$為長度為$x$時尚未成功匹配的概率

寫出$f$的概率生成函式

$$f(x)=\sum_^ p_i x_i$$

同樣的寫出$g$的

發現$f(1)=1,f'(1)=e(x),f(x)+g(x)=g(x)x+1$

上式的意義類似於dp轉移

還有一關係式，設$m$為字符集大小,$l$為字串長度,$a$是該位是否為border的布林陣列

$$\left ( \frac \right ) ^lg_x =\sum _^l a_i\left ( \frac \right )^f_ $$

考慮在沒有完成匹配的字串後面接乙個隨機出乙個原串的概率，右半部分是有可能產生原串的border導致提前匹配

寫成生成函式的形式

$$\left ( \frac \right ) ^lg(x) =f(x)\sum _^l a_i \left ( \frac \right ) ^$$

對一式求導得

$$f'(x)+g'(x)=xg'(x)+g(x)$$

移項得$$f'(x)=(x-1)g'(x)+g(x)$$

將$1$代入$x$

$$f'(1)=g(1)=e(x)$$

這非常屌，再搞另乙個式子，已經知道要算$g(1)$，所以也代入$1$

$$g(1)=\sum_^l a_im^i$$

kmp或者hash胡搞，$o(l)$求解

#include#include
using
namespace
std;
intn,t,m;
bool a[100005
];unsigned 
long
long b[100005]=,str[100005],has[100005],pn[100005]=,ans;
const unsigned long
long mod=10000,base=1e9+7
;inline 
intread()
while(ch>='
0'&&ch<='
9') w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'
0',ch=getchar();
return f*w;
}int
main()
return0;
}

[ctsc2006]歌唱王國

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