有關組合數學的小記，不喜勿噴
1.第一類斯特林數：表示將$ n$ 個不同元素構成\(m\)個圓排列的數目。
遞推式：\(s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*(n-1)\)。
遞推式證明如下：
我們考慮第\(n\)個元素放的位置。
（1）前\(n-1\)個元素構成了\(m-1\)個圓排列，第\(n\)個元素獨自構成乙個圓排列:\(s(n-1,m-1)\)
（2）前\(n-1\)個元素構成了\(m\)個圓排列，第\(n\)個元素插入到任意元素的左邊:\((n-1)*s(n-1,m)\)
綜上：\(s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*(n-1)\)。
對於第一類斯特林數我們有以下特點：
1.\(s(n,n-2)=2*c(n,3)+3*c(n,4)\)
2.\(s(n,n-1)=c(n,2)\)
3.\(\sum_^s(n,i)=n!\)
2.第二類斯特林數：表示將\(n\)個不同的元素拆分成\(m\)個非空集合的方案數。
遞推式：\(s(n,m)=s(n-1,m-1)+m*s(n-1,m)\)。
同理，我們還是考慮第\(n\)個元素的放置情況。
（1）前\(n-1\)個元素構成了\(m-1\)個集合，那麼第\(n\)個元素單獨構成乙個集合:\(s(n-1,m-1)\)。
（2）前\(n-1\)個元素已經構成了\(m\)個集合，將第\(n\)個元素插入到任意乙個集合:\(m*s(n-1,m)\)。
綜上：\(s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*m\)。
同時附上乙個第二類斯特林數的容斥公式：\(s(n,m)=\frac*\sum_^\)。
第二類斯特林數的實際意義
（1）n個不同的球，放入m個有區別的盒子,不允許盒子為空,方案數：\(m!*s(n,m)\)。
（2）n個不同的球，放入m個無區別的盒子,允許盒子為空,方案數：\(\sum_^s(n,i)\)
ps:乙個有趣的事實：\(\sum_^s(n,i)*s(i,m)=\sum_^s(n,i)*s(i,m)\)。
3.卡特蘭數
卡特蘭數的實際意義和證明方法過多，筆者不再闡述，下面直接給出通項公式和遞推公式。
\(cat_n=c(2*n,n)-c(2*n,n-1)=\frac=cat_*\frac\)。
常見意義：合法出棧方案數，二叉樹方案數......
4.圓排列：表示從\(n\)個元素中選\(m\)個在圓周上構成不同的圓的方案數
通項公式：\(\frac\)
5.錯位排列：\(n\)的相異的元素排成一排，第\(i\)個元素不在第\(i\)位上的方案數
通項公式：\(d_n=(n-1)*(d_+d_)\)。
證明如下：
我們假設第\(n\)個數排在第\(k\)位上，其中\(k\in[1,n-1]\)。
（1）.當第\(k\)個數排在第\(n\)位時，除了第\(n\)個數和第\(k\)個數以外還有\(n-2\)個數，其方案數為\(d_\)。
（2）.當第\(k\)個數不排在第\(n\)位時，將第\(n\)位重新想成新的「第\(k_1\)位」，這時的包括第\(k\)個數在內的剩下\(n-1\)個數的每一種錯排，方案數為\(d_\)。
由於，\(k\in[1,n-1]\)，所以\(d_n=(n-1)*(d_+d_)\)。
6.隔板法
（1）.\(n\)個同樣的小球分成\(m\)個不同的組別，每組不為空，方案數為：\(c(n-1,m-1)\)。
（2）.\(n\)個同樣的小球分成\(m\)個不同的組別，每組可以為空，方案數為：\(c(n+m-1,m-1)\)。
先寫到這了，以後有東西再補。。。。。
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