因子分析（還沒有完全弄透）
一、總結：
因子分析其實就是降維。 （詳細筆記見--斯坦福機器學習講義： 因子分析筆記） 強烈建議回看
因子分析其實就是認為高維樣本點實際上是由低維樣本 點經過高斯分布、線性變換、誤差擾動生成的，因此高維資料可以使用低維來表示。
因子分析是對應無監督學習問題，因為用到em演算法，還是有em演算法的，e步都是求出隱性變數z，而z表示可能的類別，所以凡是有em演算法的，一定是無監督學習.
什麼情況下用因子分析：
之前我們考慮的訓練資料中樣例x(i)的個數m都遠遠大於其特徵個數n，這樣不管是進 行回歸、聚類等都沒有太大的問題。
然而當訓練樣例個數 m 太小，甚至 m這時候要用因子分析。
因子分析最終目的是求出隱性變數z與樣例x的聯合分布
，並且求出其所有引數：均值μ（n維），轉換矩陣λ和誤差協方差ψ。
下面幾步都是圍繞著聯合分布的產生，引數如何估計得到 而展開的。
二、問題
樣例個數x~n(μ，σ).
又上面一篇博文可知，高斯混合模型中的引數估計公式 類似 多遠高斯分布引數：
當樣例個數m小於特徵個數n，則σ為奇異矩陣=》不滿秩，特徵值為0==》σ不可逆。
估計不出σ，但仍用高斯分布估計，則假設限制協方差矩陣
三、限制協方差矩陣
我們假設特徵間獨立，則σ為對角陣（即只有主對角線有元素，其餘地方為0），高斯分布二維幾何圖對應的橢圓的兩個軸與座標軸平行。
如圖，左邊是高斯分布的三維圖，所以自上而下看，高斯分布是橢圓。右邊圖可知，橢圓兩個軸和座標軸平行了
四、因子分析怎樣將資料建模
1.假設有隱性變數z~n（0，i）,均值為0。即在乙個k維的空間中按照多元高斯分布生成m個z(i)（k維向量)。
2、 然後存在乙個變換矩陣λ ∈ ℝn×k，將z(i)對映到n維空間中，即 λz(i)因為z(i)的均值是0，對映後仍然是0。
3.最後的結果認為是真實的訓練樣例x(i)的生成公式:
如下圖遞進表示：從
到
到
上面的過程是從隱含隨機變數z經過變換和誤差擾動來得到觀測到的樣本點。其中z被 稱為因子，是低維的。
五、因子分析模型是：
因子分析的總式：
對上式x = u +lumda*z + 誤差， 分別求三個引數：
1)求u：
， 又已知e[z] = 0,所以
。2)求σ: (......略)
3）最終聯合分布：（最重要！！）
（總式）因子分析最終目的就是為了求出聯合分布的所有引數：均值μ（n維），轉換矩陣λ和誤差協方差ψ。
六、em引數估計：
對上面4）式進行em演算法迭代：
需估計引數：z是隱含變數，μ,λ,ψ是待估引數。
回顧em步驟：
（1）e步對z進行推導，
。。。（省略）
（2）m步對μ,λ,ψ求導。
（具體推導過程見講義。）
最終是對所有引數進行估計了。
根據上面的em的過程，要對樣本x進行因子分析，只需知道要分解的因子數（z的維 度）即可。通過em，我們能夠得到轉換矩陣λ和誤差協方差ψ。
因子分析實際上是降維，在得到各個引數後，可以求得z。但是z的各個引數含義需要自己去琢磨（還沒琢磨出）。
七、因子分析應用例子：
例如，在企業形象或品牌形象的研究中，消費者可以通過乙個有24個指標構成的評價 體系，評價百貨商場的24個方面的優劣。 但消費者主要關心的是三個方面，即商店的環境、商店的服務和商品的**。因子分析 找出反映商店環境、
方法可以通過24個變數， 商店服務水平和商品**的三個潛在的因子， 對商店進行綜合評價。而這三個公共因子可以表示為：
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