本文僅考慮域（field）$\mathbb$上的一元$n$次多項式
$$ f(x) = \sum_^n a_n x^n, $$
其中$x$是形式引數，$a_n \in \mathbb$。我們把多項式$f(x)$簡記作$f$。記
$$ \mathbb[x] = \left\^n a_n x^n \mid a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb, n \geq 0 \,\right\} $$
表示域$\mathbb$上的所有一元多項式。
給定多項式$f \in \left(\mathbb[x]\right)[x]$，求多項式$f \in \mathbb[x]$，使得$f(f) \equiv 0 \pmod $。
設$f_0 \equiv f \pmod $，其中$n \leq n$。考慮$f(f)$在$f=f_0$處的taylor展開，
$$ f(f) = \sum_^\infty (k!)^ f^(f_0) (f-f_0)^k. $$
當$k \geq 2$時，我們有$(f-f_0)^k \equiv 0 \pmod }$。若$2n \leq n$，則上式在模$x^$意義下化為
$$ f(f_0)+f'(f_0) (f-f_0) \equiv 0 \pmod }. $$
解得$$ f \equiv f_0 - \left[f'(f_0)\right]^ f(f_0) \pmod }, $$
其中$f^$表示$f$在模$x^$意義下的逆元，即$f^ f \equiv 1 \pmod }$。
如此迭代即可求得多項式$f$，稱之為牛頓迭代法。
已知多項式$g \in \mathbb[x]$，求$g$在模$x^n$意義下的逆$f \equiv g^ \pmod $，即$fg \equiv 1 \pmod $。令
$$ f(f) = f^ - g, $$
則$ f'(f) = -f^ $。設$f \equiv f_0 \pmod $，應用牛頓迭代法可得遞推式
$$ f \equiv f_0 - (-f_0^)^ (f_0^-g) \equiv f_0(2-f_0g) \pmod }. $$
已知多項式$g \in \mathbb[x]$，求$g$在模$x^n$意義下的二次方根$f \equiv g^ \pmod $，即$f^2 \equiv g \pmod $。令
$$ f(f) = f^2 - g, $$
則$ f'(f) = 2f $。設$f \equiv f_0 \pmod $，應用牛頓迭代法可得遞推式
$$ f \equiv f_0 - (2f_0)^ (f_0^2-g) \equiv 2^(f_0+f_0^g) \pmod }. $$
設$f \in \mathbb[x]$。若$[x^0]f = 0$，則定義$f$的指數為
$$ \exp f = \sum_^\infty (n!)^ f^n. $$
若$[x^0]f = 1$，則定義$f$的對數為
$$ \ln f = \sum_^\infty (-1)^n^(f-1)^n. $$
設$f \in \mathbb[x]$且$[x^0]f = 1$，則求$\ln f$的方法為
$$ \ln f = \int \mathrm \ln f = \int f^f' \mathrm x. $$
已知多項式$g \in \mathbb[x]$，求$g$在模$x^n$意義下的指數$f \equiv \exp g \pmod $。
我們利用$\ln \exp g = g$。令
$$ f(f) = \ln f - g, $$
則$ f'(f) = f^ $。設$f \equiv f_0 \pmod $，應用牛頓迭代法可得遞推式
$$ f \equiv f_0 - (f_0^)^ (\ln f_0 - g) \equiv f_0(1-\ln f_0+g) \pmod }. $$
若$[x^0]g=1$，則$g$的$k$次冪$g^k$可由
$$ g^k = \exp \left( k \ln g \right) $$
匯出。而除此之外的一般情形都可設法化為如上情形。
多項式牛頓迭代
導數 微積分多項式泰勒展開 給定乙個 n 次多項式 f x 求多項式 g x 滿足 f g x equiv 0 mod x n 設有 f g 0 x equiv 0 mod x right rceil 根據泰勒展開得 f g x sum frac g 0 x g x g 0 x n because ...
牛頓迭代法
創新工廠的筆試題 不用庫函式sqrt 求乙個整型數n的開方，要求精度達到0.001即可。在這裡首先介紹一下牛頓迭代法 假設乙個方程為 f x 0 那麼假設其解為x0，則用泰勒級數展開之後可得 f x f x0 f x0 x x0 0 其中x為其近似解。根據上式推導出 x x0 f x0 f x0 這...
牛頓迭代法
目前接觸到的牛頓迭代法主要應用於兩個方面 1 方程求根問題 2 最優化問題。1 求解方程。並不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很複雜，導致求解困難。利用牛頓法，可以迭代求解。原理是利用泰勒公式，在x0處展開，且展開到一階，即f x f x0 x x0 f x0 求解方程f x 0，即f x0 ...