多項式牛頓迭代

導數

微積分多項式泰勒展開

給定乙個 \(n\) 次多項式 \(f(x)\)，求多項式 \(g(x)\) 滿足：

\[f(g(x))\equiv 0\mod x^n

\]

\[f(g_0(x))\equiv 0\mod x^ \right \rceil}

\]根據泰勒展開得

\[f(g(x))=\sum^_\frac(g_0(x))(g(x)-g_0(x))^n}

\]\[\because f(g(x))\equiv 0\mod x^n

\]\[\therefore \sum^_\frac(g_0(x))(g(x)-g_0(x))^n} \equiv 0\mod x^n

\]由於 \(g(x)\) 是乙個 \(n\) 次多項式，且是在 \((mod\; x^n)\) 的意義下，所以 \(n=2\) 以後的項都被模成了 \(0\) 。

\[f(g_0(x))+f'(g_0(x))(g(x)-g_0(x)) \equiv 0\mod x^n

\]\[f(g_0(x))+f'(g_0(x))g(x)-f'(g_0(x))g_0(x) \equiv 0\mod x^n

\]\[f'(g_0(x))g(x)\equiv f'(g_0(x))g_0(x) - f(g_0(x))\mod x^n

\]\[g(x)\equiv g_0(x) - \frac\mod x^n

\]解得

\[g(x)\equiv g_0(x) - \frac\mod x^n

\]

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