將\(fft\)中的單位複數根改成原根即可。
struct mul }
void ntt(int * a, int opt)
for (register int i = 0; i < len; i += 4)
for (register int i = 8; i <= len; i <<= 1)
}}
if (opt == -1)
}inline void init()
inline int getlen(int l)
};
\[a(x)b(x) = 1 \pmod
\]假設我們已知
\[a(x)g(x) = 1 \pmod\rceil}}
\]兩式相減得
\[a(x)(b(x) - g(x)) = 0 \pmod\rceil}}
\]\[b(x) - g(x) = 0 \pmod\rceil}}
\]\[b^2(x) + g^2(x) - 2b(x)g(x) = 0 \pmod
\]兩邊同時乘上\(a(x)\)
\[a(x)b^2(x) + a(x)g^2(x) = 2a(x)b(x)g(x)
\]因為\(a(x)b(x) = 1\), 所以可以得到
\[b(x) + a(x)g^2(x) = 2g(x)
\]\[b(x) = 2g(x) - a(x)g^2(x)
\]就這樣解決了
時間複雜度為\(t(n) = t(\frac) +o(n \log n)\)
inline void getinv(int * a, int * b, int len)
return;
}
\[b^2(x) = a(x) \pmod
\]假設我們已知
\[g^2(x) = a(x) \pmod\rceil}}
\]兩式相減得
\[b^2(x) - g^2(x) = 0 \pmod\rceil}}
\]然後平方一下
\[b^4(x) + g^4(x) - 2b^2(x)g^2(x) = 0 \pmod
\]\[b^4(x) + g^4(x) = 2b^2(x)g^2(x) \pmod
\]配一下方
\[b^4(x) + g^4(x) + 2b^2(x)g^2(x) = 4b^2(x)g^2(x) \pmod
\]\[(b^2(x) + g^2(x))^2 = (2b(x)g(x))^2 \pmod
\]\[b^2(x) + g^2(x) = 2b(x)g(x) \pmod
\]因為\(b^2(x) = a(x)\), 所以可以得到
\[b(x) = }
\]為了方便實現，我們常把它化成
\[b(x) = +
\]然後就解決了
時間複雜度為\(t(n) = t(\frac) + o(n \log n) = o(n \log n)\)
模擬即可
inline void getderi(int * a, int len)
inline void getinte(int * a, int len)
根據鏈式法則， 我們可以得到
\[b'(x) = \frac(\ln(a(x)))}a(x)} \fraca(x)}x} = \frac
\]所以
\[b(x) = \int \frac \mathbbx
\]
void getln(int * a, int len)
我們要求\(f(x) = 0\)的根
那麼可以使用泰勒公式來近似\(f(x) = 0\)的根
我們設當前的近似值是\(x_\)， 我們想要得到的近似值是\(x_\)
擷取泰勒公式的線性部分： $$f(x_) + f'(x_)(x_-x_n) = 0$$
解方程得： $$x_ = x_n - \frac)})}$$
這樣不斷迭代
我們可以用這種方法來解多項式方程。
我們要求的是 \(exp(a(x))\), 這相當於解乙個方程： \(\ln(exp(a(x))) - a(x) = 0\)
可以直接套用牛頓迭代法求解。
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