最近又開始搞數論了……今天是尤拉函式，對於一些性質或定理，我可能會證明啥的
首先尤拉函式\(\varphi(n)\)指不超過\(n\)與\(n\)互素的數的個數。比如\(\varphi(8) = 4\)
性質：對於\(n = ^ * ^ * ^ \ldots ^ \)，有\(\varphi(n) = \varphi( ^ ) * \varphi( ^ ) * \varphi( ^ ) \ldots \varphi( ^ )\)。
然後就是各種定理了：
以下的\(p\)都是素數！
定理1：\(\varphi(n) = n * (1 - \frac) * (1 - \frac) * (1 - \frac) \ldots (1 - \frac)\)。
證明可以用容斥：設\(p\)是\(n\)的質因子，那麼\(1\)
$n$中$p$的倍數有$\frac$個。同理$q$也是$n$的質因子，則$1$
\(n\)中\(q\)的倍數有\(\frac\)個。去掉\(\frac + \frac\)後，根據容斥原理，要再補回來\(\frac\)個，那麼\(1\)~\(n\)中不與\(n\)含有共同質因子\(p\)或\(q\)的數的個數為\(n - \frac - \frac + \frac = n * (1 - \frac - \frac + \frac) = n * (1 - \frac) * (1 - \frac)\)。類似的，對於\(n\)的所有質因子使用上述容斥原理，可以得到定定理1.
定理1的推論：當\(n\)為奇數時，\(\varphi(2n) = \varphi(n)\)。
定理2：\(\varphi(p) = p - 1\)。
（顯然成立）
定理3：\(\varphi(p^a) = p^a - p^\)。
證明代入到定理1即可。
定理4：積性：如果\(n\)和\(m\)互質，則\(\varphi(nm) = \varphi(n) * \varphi(m)\)。
證明也是用定理1。
這樣也可以推出它的性質。
定理5：如果\(n \geqslant 2\)，則\(\varphi(n)\)是偶數。
證明：\(n = \prod^}\)，因為\( ^ \)互質，根據定理3和4可知，\(\varphi(n) = \prod ^ - ^ }\)。考慮\(p_i\)，如果\(p_i = 2\)，那麼\( ^ - ^ \)顯然是偶數；如果\(p_i \neq 2\)，則\(p_i\)一定是奇數，所以\( ^ \)和\( ^ \)也都是奇數，相減就是偶數。偶數相乘，結果是偶數。證畢。
定理6：\(\sum_\)。
證明：首先令\(f(x) = \sum_\)，則\(f(x)\)是乙個積性函式（但這一步我不會證）。
那麼\(f(n) = \prod ^ )}\)。而\(f( ^ ) = \varphi( ^ 0) + \varphi( ^ 1) + \ldots \varphi( ^ ) = 1 + - 1 + ^ 2 - + ^ 3 - ^ 2 \ldots ^ - ^ = ^ \)。
所以\(f(n) = \prod ^ } = n\)
然後就引出了尤拉定理：
對於任何兩個互質的正整數\(a, m(m \geqslant 2)\)有\(a ^ \equiv 1 (mod\)
\(m)\)
（不會證）
當m是質數的時候，就有費馬小定理：\(a ^ \equiv 1 (mod\ m)\)。最常見的應用是用費馬小定理求逆元：\(a^ \equiv a ^ (mod\ m)\)
小補充：最近又看了看尤拉定理，第一反應的公式是\(\varphi(n) = n - (a_1 + 1) * (a_2 + 1) * \ldots * (a_m + 1)\)，也不知道我這個對不對，反正沒看人用過這個……
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