n的尤拉函式值用符號φ(n)表示
尤拉函式的定義是，對於乙個正整數n，小於n且與n互質的數的數目（包括1，特殊地，φ(1)=1 ）。
設p1,p2,p3,...,pr為n的全部r個質因數，則有φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pr)。
顯然，用這個方法來計算單個尤拉函式是可以求解的。
附上**：
1int get_phi(intx)9
//仍有質因數？特判x=2及x=3的情況
10if(x^1) re/=x,re*=x-1;11
return
re;12 }
這個求法的時間複雜度是o(√n)d的。
但這個求法有弊端：
* 對於大量需要計算的尤拉函式值，逐一分解n的時間複雜度顯然是十分高的。
在使用求解尤拉函式之前，介紹尤拉函式的幾個性質：
(1) 尤拉函式是積性函式，當正整數m,n互質時，滿足φ(mn)=φ(m)φ(n)。
(2) 當n為奇數時，有φ(2n)=φ(n)。
(3) n=∑ d|n φ(d) （ d|n ）。
(4) 對於給定的乙個質數p，φ(p)=p -1。則對於正整數 n = p^k ，φ(n) = p^k - p^(k -1)。
(5) 若(n % a == 0 && (n / a) mod a == 0) 則有：φ(n)=φ(n / a) * a。
(6) 若(n % a == 0 && (n / a) mod a != 0) 則有：φ(n)=φ(n / a) * (a - 1)。 (a 為質數)
主要利用以上性質(4)(5)(6)，我們可以用遞推的方法按以下步驟來打出尤拉函式表。
(1) 記φ(1)=1。這是遞推步驟嗎。
(2) 根據性質(4)，對於質數i，可直接得φ(i)=i-1，把i放入質數表prime中。
(3) 對於i，從頭開始列舉質數（思考為什麼列舉質數），根據性質(5)(6)，當(i mod primej) != 0時，φ(i*primej) = φ(i)*(primej -1)
當列舉到(i mod primej) == 0時，φ(i*primej) = φ(i)*(primej)，並停止（思考為什麼要停止），列舉下乙個i。
由此我們得到了打出尤拉函式表的主要**（變數的定義不在這裡展示）
1 phi[1]=1;2for(int i=2;i<=n;i++)
7for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++)14}
15}
可以簡單地得知時間複雜度是線性的o(n)。
利用打好的尤拉函式表，我們可以驗證它的以上幾個性質。
性質(2)
1for(int i=n/2*2;i>1;i-=2)2
if((i/2)&1
)3 printf("
phi[%d] = %d = phi[%d/2] = phi[%d] = %d\n
",i,phi[i],i,i/2,phi[i/2]);
example
phi[38] = 18 = phi[38/2] = phi[19] = 18
phi[34] = 16 = phi[34/2] = phi[17] = 16
phi[30] = 8 = phi[30/2] = phi[15] = 8
phi[26] = 12 = phi[26/2] = phi[13] = 12
phi[22] = 10 = phi[22/2] = phi[11] = 10
phi[18] = 6 = phi[18/2] = phi[9] = 6
phi[14] = 6 = phi[14/2] = phi[7] = 6
phi[10] = 4 = phi[10/2] = phi[5] = 4
phi[6] = 2 = phi[6/2] = phi[3] = 2
phi[2] = 1 = phi[2/2] = phi[1] = 1
性質(3)
1for(int i=1;i<=n;i++)
11for(j=j+1;j<=i;j++)
12if(i%j==0
)16 printf("
=%d\n
",temp);
17 }
example
1 = phi[1]( =1 ) =1
2 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) =2
3 = phi[1]( =1 ) + phi[3]( =2 ) =3
4 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[4]( =2 ) =4
5 = phi[1]( =1 ) + phi[5]( =4 ) =5
6 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[3]( =2 ) + phi[6]( =2 ) =6
7 = phi[1]( =1 ) + phi[7]( =6 ) =7
8 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[4]( =2 ) + phi[8]( =4 ) =8
9 = phi[1]( =1 ) + phi[3]( =2 ) + phi[9]( =6 ) =9
10 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[5]( =4 ) + phi[10]( =4 ) =10
尤拉函式總結 數論 尤拉函式
尤拉函式的定義 euler k 1,n 1 中與n互質的整數個數 eg euler 8 4，因為1,3,5,7均和8互質。可以推出以下公式 euler k p1 1 p2 1 pi 1 p1 a1 1 p2 a2 1 pi ai 1 k p1 1 p2 1 pi 1 p1 p2 pi k 1 1 p...
尤拉函式求法
法一 根號n做法 int phi int n if n 1 ans ans n n 1 return ans 法二 線性篩做法 寫在前面 對於尤拉函式有如下三條性質 p為素數 1 phi p p 1 2 當p與i互質時有 phi p i phi p phi i 3 當i p 0時有 phi p i ...
數論 尤拉函式
尤拉函式，用 n 表示 尤拉函式是求小於等於n的數中與n互質的數的數目 求n的尤拉函式時我們可以減去它的所有素數因子以及它的倍數 12 12 2 2 3 素數因子有2 3所以我們減掉2，3的倍數 2的倍數 2，4，6，8，10，12 3的倍數 3，6，9，12 顯然2，3存在重複項6，12 根據容斥...