我太菜了，數論真就 tm 只會個 gcd。
這篇只怕要寫一周。
所有小於等於\(x\) 的數中與 \(x\)互質的數的個數。
符號： \(\varphi(x)\)
\(p_i\) 表示 \(x\) 的質因數，\(n\) 表示 \(x\) 的質因數個數。
\[\varphi(x) = x \prod_^n(1-\dfrac)
\]
對於質數 \(x\),\(\varphi(x)=x-1\)
若 \(x\),\(y\) 互質，則 \(\varphi(x) \times \varphi(y) = \varphi(x \times y)\)
如果 \(n\) 為奇數，則 \(\varphi(n \times 2) = \varphi(n)\)因為 \(n\) 為奇數，所以 \(n\) 與 2 互質，且 \(\varphi(2) = 1\)，所以上式成立。
如果 \(x\) 為質數，則\(\varphi(x^k) = x^k - x^\)因為與 \(x^k\) 不互質的數只有 \(x\) 的倍數，而 \(x^k\) 中 \(x\) 的倍數有 \(x^\) 個。
如果 \(3 \le x\),則 \(\varphi(x)\) 的值為偶數。因為 \(gcd(x,n) = gcd(n-x,n)\) ，更相減損術證明，與 \(x\) 互質的數是成對存在的,且每一對中的兩個數之和為 \(x\)。
通過上面的證明可知，每一對與 \(x\) 互質的數的和為 \(x\)，總共有 \(\varphi(x) \div 2\) 對。\[\sum\limits_^i = \varphi(x) \times x \div 2 (2 \le x)
\]
\(x = \sum\limits_ \varphi(i)\)，即 \(x\) 的因數(包括1和它自己)的尤拉函式之和等於 \(x\)。這條性質又叫尤拉反演。
證明：
定義函式 \(f(n)=\sum\limits_ \varphi(i)\)
2/24 艹根本來不及寫。
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