樹狀陣列詳解

平常我們會遇到一些對陣列進行維護查詢的操作，比較常見的，修改某點的值、求某個區間的和。

資料規模不大的時候，對於修改某點的值是非常容易的，複雜度是o(1)，但是對於求乙個區間的和就要掃一遍了，複雜度是o(n)。

如果實時的對陣列進行m次修改或求和，最壞的情況下複雜度是o(m*n)，當規模增大後這是划不來的。

而樹狀陣列幹同樣的事複雜度卻是o(m*lgn)。

樹狀陣列是乙個查詢和修改複雜度都為log(n)的資料結構。

主要用於查詢任意兩位之間的所有元素之和，但是每次只能修改乙個元素的值；經過簡單修改可以在log(n)的複雜度下進行範圍修改，但是這時只能查詢其中乙個元素的值(如果加入多個輔助陣列則可以實現區間修改與區間查詢)。

看完概念後發現和線段樹的功能類似，實際上樹狀陣列和線段樹確實類似，不過也有不同，具體區別和聯絡如下：

1.兩者在複雜度上同級, 但是樹狀陣列的常數明顯優於線段樹, 其程式設計複雜度也遠小於線段樹.

2.樹狀陣列的作用被線段樹完全涵蓋, 凡是可以使用樹狀陣列解決的問題, 使用線段樹一定可以解決, 但是線段樹能夠解決的問題樹狀陣列未必能夠解決.

3.樹狀陣列的突出特點是其程式設計的極端簡潔性, 使用lowbit技術可以在很短的幾步操作中完成樹狀陣列的核心操作，與之相關的便是其**效率遠高於線段樹。

樹狀陣列，重點是在樹狀的陣列

一顆普通的二叉樹如下

葉子結點代表a陣列a[1]~a[8]

現在變形一下

現在定義每一列的頂端結點c陣列 ，如下圖

c[i]代表 子樹的葉子結點的權值之和//這裡以求和舉例

如圖可以知道

c[1]=a[1];

c[2]=a[1]+a[2];

c[3]=a[3];

c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

c[5]=a[5];

c[6]=a[5]+a[6];

c[7]=a[7];

c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

其中c陣列的求法如下：

c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+......a[i]; （k為i的二進位制中從最低位到高位連續零的長度）例如i=8時，k=3;

有了這個**之後對照上面的式子就可以輕鬆的知道每乙個c代表的哪幾個數的和。比如

c[8]，由上圖知2^k為8，那麼

c[24]，由上圖知2^k為8，那麼

這是我們通過簡單的計算得出來的值，那麼應該如何轉換成程式語言呢，大神們給出了非常巧妙的方法，利用下面的函式可以求出2^k的值。

int lowbit(int

x)

首先明白乙個概念，計算機中-i=（i的取反+1），也就是i的補碼 

而lowbit，就是求（樹狀陣列中）乙個數二進位制的1的最低位，例如01100110，lowbit=00000010；再例如01100000，lowbit=00100000。 

所以若乙個數（先考慮四位）的二進位制為abcd，那麼其取反為(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)，那麼其補碼為(1-a)(1-b)(1-c)(2-d)。 

如果d為1，什麼事都沒有-_-|||但我們知道如果d為0，天理不容2σ( ° △ °|||)︴ 

於是就要進製。如果c也為0，那麼1-b又要加1，然後又有可能是1-a……直到碰見乙個為補碼為0的bit，我們假設這個bit的位置為x 

這個時候可以發現：是不是x之前的bit的補碼都與其自身不同？，x之後的補碼與其自身一樣都是0？ 

例如01101000，反碼為10010111，補碼為10011000，可以看到在原來數正數第五位前，補碼的進製因第五位使其不會受到影響，於是0&1=0,； 

但在這個原來數「1」後，所有零的補碼都會因加1而進製，導致在這個「1」後所有數都變成0，再加上0&0=0，所以他們運算結果也都是零； 

只有在這個數處，0+1=1，連鎖反應停止，所以這個數就被確定啦o(∩_∩)o 

void update(int k,int

x)

int getsum(int

x)

#include #include 

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define io ios::sync_with_stdio(false);\cin.tie(
0);\
cout.tie(0);
using
namespace
std;
#define n 50100
intn;
intc[n];
int lowbit(int
x)void update(int k,int
x)int getsum(int
x)int
main()
char s[100
];        cout
<
case 
"<
while(1
)        
if(s[0] == 's'
)            
if(s[0] == 'a'
)            }}
return0;
}

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