2023年01月25日 19:29:05
樹狀陣列確實是個好東西啊，以前搞比賽的時候了解過它，會套用模版，但確沒有深入理解這個東西，先學會用輪子，然後再學造輪子嘛，這段時間再回頭研究了一下，發現二進位制在演算法中真的是的好東西，它可以使演算法的時間複雜度降到n的二進位制表示中的1相關，大家都知道，求乙個二進位制中的1的個數，這個時間複雜度為o(logn)o(logn)。
有時候覺得樹狀陣列難以理解，我覺得根本原因是：你還在用十進位制的視角來看待樹狀陣列，下面的講解我會時刻提醒你轉換到二進位制的視角，而且我也不會先給你上圖，因為你的視角在二進位制，你就會發現樹狀陣列就是乙個普通的東西，不需要圖你就能理解。
首先我們搞明白樹狀陣列是用來幹嘛的，現在有乙個這樣的問題：有乙個陣列a，下標從0到n-1，現在給你w次修改，q次查詢，修改的話是修改陣列中某乙個元素的值；查詢的話是查詢陣列中任意乙個區間的和，w + q < 500000。
這個問題很常見，首先分析下樸素做法的時間複雜度，修改是o(1)o(1)的時間複雜度，而查詢的話是o(n)o(n)的複雜度，總體時間複雜度為o(qn)o(qn)；可能你會想到字首和來優化這個查詢，我們也來分析下，查詢的話是o(1)o(1)的複雜度，而修改的時候修改乙個點，那麼在之後的所有字首和都要更新，所以修改的時間複雜度是o(n)o(n)，總體時間複雜度還是o(qn)o(qn)。
可以發現，兩種做法中，要麼查詢是o(1)o(1)，修改是o(n)o(n)；要麼修改是o(1)o(1)，查詢是o(n)o(n)。那麼就有沒有一種做法可以綜合一下這兩種樸素做法，然後整體時間複雜度可以降乙個數量級呢？有的，對，就是樹狀陣列。
這裡我們先不管樹狀陣列這種資料結構到底是什麼，先來了解下lowbit這個函式，你也先不要問這個函式到底在樹狀陣列中有什麼用；
顧名思義，lowbit這個函式的功能就是求某乙個數的二進位制表示中最低的一位1，舉個例子，x = 6，它的二進位制為110，那麼lowbit(x)就返回2，因為最後一位1表示2。
那麼怎麼求lowbit呢？
兩種方法對應的**依次如下：
int lowbit(x)
int lowbit(x)
先定義一些東西：arr是原陣列，c是新開的乙個陣列，這個陣列代表字尾和(問題模型中是用的字首和，這裡要用字尾和，具體原因馬上就知道了)；
二進位制的視角：乙個數n，假設n = 6，它的二進位制為110，我們把它表示成累加的形式110 = 100 + 10，這樣是可以的，那麼我們要求前6(110)項的和是不是可以這樣求：
∑i=16=(arr1+arr2+arr3+arr4)+(arr5+arr6)∑i=16=(arr1+arr2+arr3+arr4)+(arr5+arr6)
注意括號中的元素個數，是不是4(100)個加2(10)個，和110 = 100 + 10是不是很像，不知你們發現了嗎，10就是lowbit(110)的結果，100是lowbit(100)的結果。求和的時候我們總是把∑ni=1∑i=1n拆分成這樣的幾段區間和來計算，而如何去確定這些區間的起點和長度呢？就是根據n的二進位制來的(不懂的可以再看下上面舉的例子)，二進位制怎麼拆的，你就怎麼拆分，而拆分二進位制就要用到上面說的lowbit函式了。這裡也可以順理成章得給出c陣列的表示了。
這裡也可以順理成章得給出c陣列的表示了，c[i]表示從第i個元素向前數lowbit(i)個元素，這一段的和，這就是上面說的區間和，只不過這個區間是靠右端點的；你可能又會想，不是說區間是靠右端點的嗎，是字尾和啊，那中間的這些區間怎麼定義？其實遞迴定義就好了，比如說∑6i=1=(arr1+arr2+arr3+arr4)+(arr5+arr6)=∑6i=1=(arr1+arr2+arr3+arr4)+c[6]∑i=16=(arr1+arr2+arr3+arr4)+(arr5+arr6)=∑i=16=(arr1+arr2+arr3+arr4)+c[6]，你把c[6]去掉，不就是∑4i=1=(arr1+arr2+arr3+arr4)∑i=14=(arr1+arr2+arr3+arr4)，這個區間不就靠右端點了嗎，∑4i=1=c[4]=c[6−lowbit(6)]∑i=14=c[4]=c[6−lowbit(6)]。
其實你把所有的數字都看成二進位制，很好理解的。
設計一種資料結構，需要的操作無非就是」增刪改查「，這裡只討論查詢和修改操作具體是怎麼實現的；
這裡說的查詢是查詢任一區間的和，由於區間和具有可加減性，故轉化為求字首和；
查詢字首和剛剛在樹狀陣列的思想中已經說過了，就是把大區間分成幾段長度不等的小區間，然後求和。區間的個數為o(logn)o(logn)，所以查詢的時間複雜度為o(logn)o(logn)。
修改某一位置上的元素的時間複雜度為o(1)o(1)，但是要更新c陣列，不然查詢的時間複雜度就會變高。更新的方法就要提一下樹狀陣列的性質了和樹狀陣列那張經典的了。
這張中已經把c陣列的字尾和這個含義已經表達得很清楚了。這個時候你再把查詢操作對應到這張圖上，然後看著二進位制來操作，是不是就可以很直白地理解上面所說的查詢操作了！
我們從這張圖中可以得到樹狀陣列的如下性質：
我暫時就寫這麼多吧，這個時候我們再來說更新操作；
更新的時候只要更新修改這個點會影響到的那些字尾和(c陣列)，假設現在修改6(110)這個點，依據樹狀陣列的性質三，它影響的直系父層就是c[6(110) + lowbit(6(110))] = c[8(1000)]，但是它肯定不是只影響直系父層，上面所有包含這一層和的層都要更新，但是我們把這個更新傳遞給直系父層c[8],8這個點的直系父層是c[16]，依次類推地更新就行了。
這裡我留乙個問題給大家，如何尋找某一層的所有直系子層，大家可以看這個圖思考一下，想一想。
int sum(int x, arrayint c, int n)
void update(int x, int val, arrayint c, int n)
輸入乙個陣列，然後給你一些操作，操作有查詢和修改兩種。具體見輸入格式。
第一行輸入n，表示陣列長度；第二行輸入
n個整數；第三行輸入
m，表示操作的次數；接下來
m行，每行輸入三個東西，字元ch，x，y。ch='f'表示查詢x到y這段區間和；ch='s'表示修改第x個元素為y。
對於每個查詢，輸出結果。之前好多同學和我說看不懂c++的**，主要還是stl那塊，所以我用c來寫了這個**。
#include #include #include #define lowbit(x) ((x) & -(x))
typedef int *arrayint;
int sum(int x, arrayint c, int n)
void update(int x, int val, arrayint c, int n)
int main()
}return 0;
}
陣列陣列就完美地綜合了這兩種做法，儲存字尾和，更新字尾和，通過lowbit來限定字尾和的長度，利用二進位制使得查詢、更新的時間複雜度都在o(logn)o(logn)。
我已經把我所理解的樹狀陣列盡可能詳細地寫出來了，之中可能有些表述不清楚的地方，大家可以諒解
樹狀陣列簡單易懂的詳解
樹狀陣列確實是個好東西啊，以前搞比賽的時候了解過它，會套用模版，但確沒有深入理解這個東西，先學會用輪子，然後再學造輪子嘛，這段時間再回頭研究了一下，發現二進位制在演算法中真的是的好東西，它可以使演算法的時間複雜度降到n的二進位制表示中的1相關，大家都知道，求乙個二進位制中的1的個數，這個時間複雜度為...
樹狀陣列 詳解
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樹狀陣列詳解
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