樹狀陣列詳解

樹狀陣列(binary indexed tree(b.i.t), fenwick tree)是乙個查詢和修改複雜度都為log(n)的資料結構。

實際上樹狀陣列就是沒有右兒子的線段樹，它實現起來比線段樹簡單，而且效率更高，空間占用的也更少。但是能用樹狀陣列解決的問題，基本上都能用線段樹解決。(反過來就不是了)

不多解釋了，先上幾張圖：

我們用陣列a表示原序列：a1、a2……an

用陣列c代表樹狀陣列，從上圖中我們可以發現：

c1=a1 c2=a1+a2 c3=a3 c4=a1+a2+a3+a4 c5=a5 c6=a5+a6 c7=a7 c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8

對應陣列c下標的二進位制表示：

c1的下標1的二進位制表示 1 末尾有0個連續的0 該節點管理1個元素

c2的下標2的二進位制表示 10 末尾有1個連續的0 該節點管理2個元素

c3的下標3的二進位制表示 11 末尾有0個連續的0 該節點管理1個元素

c4的下標4的二進位制表示 100 末尾有2個連續的0 該節點管理4個元素

由此我們得到乙個規律：我們設i的二進位制表示的末尾有k個連續的0，那麼ci管理2^k個元素。那麼有什麼辦法可以很快的算出來2^k呢？我們有乙個名為lowbit的神奇操作：x&(-x)就是我們想要的答案。且對於節點i，i+lowbit(i)就是節點i的父節點。

我們可以對照上圖，若我們求[1，7]的區間和，那麼sum=c7+c6+c4，即三次操作就得到了我們想要的結果，這也是為什麼查詢的複雜度是o(lgn)的，那麼我們看看lowbit發揮了怎樣的作用吧：7-lowbit(7)=6 6-lowbit(6)=4 4-lowbit(4)=0。可以發現，我們求和的操作就是從區間右端點r開始，不斷地累加cr，同時對r作lowbit操作。那麼修改操作呢，就逆著來，即從要開始的子節點i開始，不斷修改ci，同時對i做lowbit操作。有人可能會問，你這求的是[1，r]的和啊，我要求[l，r]的和怎麼辦呢？很簡單，把[1，r]和[1，l-1]的和均求出來，然後用前者減去後者即可得到答案。

這裡我以求某段區間和作為例題來介紹一下線段樹的基本操作。(注意樹狀陣列的下標是從1開始的)

lowbit操作：

inline int lowbit(int x)

更新操作：(單點修改)

void update(int i,int v)

查詢操作：

int sum(int l)

一位樹狀陣列的內容就到這裡了~大家可以做題體會一下~

舉乙個簡單的例子，我們有16個元素：a1、a2、a3、a4、……a16構成了乙個4*4的矩陣，我想查詢某個矩陣內所有元素的和，並且可能會修改該矩陣的某個元素怎麼做呢？樸素演算法肯定是遍歷統計和，複雜度o(n^2)，那有沒有o((lgn)^2)的演算法呢？肯定有，這就是我們要介紹的二維陣列，首先要知道對於tree[i][j]的每乙個tree[i]肯定是乙個一維的樹狀陣列，但是其儲存的東西可能跟你想的有點區別：(並不是簡簡單單的tree[1]管理a1-a4 tree[2]管理a5-a8哦)

我們先寫出四個一維的樹狀陣列：

tree1[1]=a1 tree1[2]=a1+a2 tree1[3]=a3 tree1[4]=a1+a2+a3+a4

tree2[1]=a5 tree2[2]=a5+a6 tree2[3]=a7 tree2[4]=a5+a6+a7+a8

tree3[1]=a9 tree3[2]=a9+a10 tree3[3]=a11 tree3[4]=a9+a10+a11+a12

然後再寫出我們的二維樹狀陣列：

tree[1][1]=a1 tree[1][2]=a1+a2 tree[1][3]=a3 tree[1][4]=a1+a2+a3+a4

tree[2][1]=a1+a5 tree[2][2]=a1+a2+a5+a6 tree[2][3]=a3+a7 tree[2][4]=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8

tree[3][1]=a9 tree[3][2]=a9+10 tree[3][3]=a11 tree[3][4]=a9+a10+a11+a12

也就是說tree[i]維護的是：treei+tree(i-1)+……+tree(i-lowbit(i)+1) 比如上面tree[2]維護的就是tree2和tree1

那麼我們求這個矩陣從第1行到第x行，第1列到第y列的操作就很簡單了：(就是原來的一維變成了二維)

至於怎麼求中間的某個矩陣的和就留給大家思考了~

void add(int x,int y,int v)
int query(int x,int y)

樹狀陣列處理rmq問題：

修改：

void updata(int x)
return ans;
}

針對區間[1，r]的查詢：

int query(int r)//查詢[1,r]
return ans;
}

樹狀陣列詳解

樹狀陣列 詳解

樹狀陣列詳解

樹狀陣列詳解

相關推薦

樹狀陣列詳解