老久沒更了，冬令營也延期了（延期後豈不是志願者得上學了？）
最近把之前欠了好久的債，諸如fft和matrix-tree等的搞清楚了（啊我承認之前只會用，沒有理解證明……），fft老多人寫，而matrixtree沒人證我就寫一下吧……
matrix tree的結論網上可多，大概一條主要的就是，圖中生成樹的數量等於 \(v-e\) 的任一余子式，其中：
為了求無向圖中有多少組 \(n-1\) 條邊可以形成樹，一般需要列舉所有的可能，無法在多項式內解決，但我們利用數學工具將其轉換——引入關聯矩陣為了後面討論我們給每條邊隨意分配乙個方向。
圖的鄰接矩陣是乙個 \(n\times n\) 的用於儲存圖的矩陣。而關聯矩陣 \(a\) 則為 \(n\times m\) 的矩陣，其中行對應點，列對應邊，如果 \(a_\) 非零，則說明第 \(j\) 條邊的起點或終點為點 \(i\)（如 \(i\) 為起點則為 \(+1\)，終點則為 \(-1\)，否則為 \(0\)）。如下圖即為一張 \(4\) 點 \(5\) 邊的圖的關聯矩陣：
\[\begin
+1 & -1 & +1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 & +1 & -1\\
0 & +1 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0 & +1
\end
\]可以看到，如果只考慮這張圖的結構的話，關聯矩陣的行之間或列之間隨意交換都是無所謂的（行交換代表點重新編號……）
我們可以證明乙個結論，任意連通圖的關聯矩陣秩為 \(n-1\)。
有兩種理解方式：
再按列來看更為顯然：
這下從行列兩個方向證明了這個結論，但有何用處呢？
我們剛在從列的方向證明結論時用到了「生成樹」的概念，仔細考慮一下，求「圖中有多少種 \(n-1\) 條邊的組合沒有環」，等價於求「關聯矩陣中有多少種 \(n-1\) 列的組合線性無關」
同時我們證明了 \(n\) 個行中總有乙個是多餘的，故考慮刪去其中一行對答案無影響。
這下將圖中的問題轉化為了矩陣中的問題，但是否將過程複雜化了呢？
為了解決這個問題，我們需要引入 binet-cauchy公式：
若存在 \(n\times m\) 的矩陣 \(a\) 與 \(m\times n\) 的矩陣 \(b\)，則矩陣 \(ab\) 的行列式等於：從 \(m\) 中任意選取 \(n-1\) 個指標，並取出 \(a\) 的這 \(n\) 列得到 \(a'\)，和 \(b\) 的這 \(n\) 行的得到 \(b'\)，將它們行列式乘起來得到 \(\det a'\times \det b'\)，對所有共 \(c_m^n\) 種選取情況求和。
數學表達：
\[\det (ab)=\sum_\det(a_s)\det(b_s)
\]（其中 \(u\) 表示集合 \(\\)，\(a_s\) 表示取出 \(s\) 中下標的列組成的矩陣，\(b_s\) 表示取出 \(s\) 中下標的行組成的矩陣）
可以發現其中幾種特殊情況：
這個公式的證明過於繁瑣，不予展開，但可以感性理解：\(ab\) 是 \(a\) 的以 \(b\) 為係數的線性組合，將 \(ab\) 的行列式展開後分離貢獻，\(\det (a_s)\) 的係數是 \(\det(b_s)\)
為了解決這個問題引入這個公式，很明顯是和其中的共同擁有的「任意選取」、「線性無關」兩個因素有關。
很容易想到是想要將圖的關聯矩陣 \(d\)（去掉一行後）放入 \(a\) 或 \(b\) 的位置，但具體怎麼放，另乙個矩陣又是什麼？
引理：連通圖的關聯矩陣中，任意乙個子矩陣的行列式都為 \(\pm 1\) 或 \(0\)有了這個引理，可以非常自然的考慮將 \(a\) 設為 \(d\)，\(b\) 設為 \(d^t\)，則 \(a_s\) 和 \(b_s\) 都是取 \(d\) 的不同列向量組成的矩陣。證明：
由於我們證明了，列線性無關的子矩陣行列式一定為 \(\pm 1\)，則平方後一定為 \(1\)。再利用上述公式，故原問題的的答案即為 \(\det (ab)\)
至於 \(ab\) 是啥？\(ab=dd^t\)
考慮下關聯矩陣 \(d\) 的定義，即可發現 \((ab)_\)：
回顧整個過程：
為了將關聯矩陣放入公式，證明了關聯矩陣中任意乙個子矩陣行列式為 \(\pm 1\) 或 \(0\)
巧妙地將 \(a\) 設為 \(d\)，\(b\) 設為 \(d^t\)，則得到的結果 \(\det(ab)\)
考慮 \(ab=dd^t\) 的現實意義，得到開頭提到的matrix tree定理
剛才討論的都是無向生成樹，可以考慮到有向生成樹的情況：
考慮外向生成樹關聯矩陣的特點：除了根以外每一行都只有乙個 \(-1\)（樹上只有乙個父親）
而若生成樹不是外向生成樹，則一定存在乙個點 \(x\)，關聯矩陣中 \(x\) 對應的那一行沒有 \(-1\)
所以可以考慮將原來每條邊「乙個 \(+1\) 乙個 \(-1\)」中的 \(+1\) 置為零，則在計算時：
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