\([a, b]\) 被 \(\\) 覆蓋，對於 \(\forall s \subset \\) 使得 \(s\) 有限，覆蓋 \(a\) （這樣的 \(s\) 總能找到）
定義 \(b = \\)
\(b\) 有界，故有上確界。
下證 \(b = \sup b\) 。
反證法：設上確界為 \(y_0 < b\) ，則 \(\exist i_\) 使得 \(y_0 \in i_\) 。
故 \(\exist \varepsilon_0\) 使得 \((y_0 - \varepsilon_0, y_0 + \varepsilon_0) \subset i_\) 。
\(\because\)
\(y_0\) 是上確界則 \(\exist y \in b\) 使 \(y_0 - y < \frac \)
\(\therefore\)
\(\exist\) 有限 \(s\) 覆蓋 \([a, y_0]\) 則 \(s \cup i_\) 覆蓋 \([a, y_0 + \frac 2 ]\)
\(\therefore\)
\(b\) 為上確界 則 \(\exist i_\) 使得 \((b - \varepsilon, b + \varepsilon) \subset i_\)
\(\exist s'\) 覆蓋 \([a, y_0]\) 有 \([a, b] \subset s' \cup \\}\) 。
設 \(\ \subset [a, b]\) 二分 \([a, b]\) 取包含無限 \(\\) 的一半為 \([a_1, b_1]\) 令某個 \(x_ \in [a_1, b_1]\) 再二分 \([a_1, b_1]\) 。
由此得到一列 \([a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_k, b_k] \supset \cdots\) 以及 \(\\}\) 使得 \(x_ \in [a_k, b_k]\) 則 \(\exist\) 唯一 \(x \in [a_k, b_k]\)
有 \(0 \le |x_ - x| < b_k - a_k\)
\(\therefore \lim_ (x_ - x) = 0\)
設 \([a_1, b_1] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots\) 且 \(\lim_ |b_n - a_n| = 0\) 假設 \(\bigcap_^\infty [a_n, b_n] = \empty\)
構造 \((a_1 - \varepsilon, a_n)\) 和 \((b_n, b_1 + \varepsilon)\) 由假設 \(\forall x \in [a_1, b_1]\) ，
\(\exist n\) 使得 \(x \notin [a_n, b_n]\) 則 \(x < a_n \rightarrow x \in(a_1 - \varepsilon, a_n)\) 或 \(x > b_n \rightarrow x \in (b_n, b_1 + \varepsilon)\)
故為 \([a_1, b_1]\) 的開覆蓋，則存在有限子覆蓋。
\(\therefore\) 可設為 \((a_1 - \varepsilon, a_), (a_2 - \varepsilon, a_), \dots, (a_1 - \varepsilon, a_)\) 和 \((b_, b_1 + \varepsilon), \dots, (b_, b_1 + \varepsilon)\)
取 \(n > \max\, \dots, b_\}\)
則 \(a_n, b_n\) 也能被覆蓋 但 \(a_n \ge a_, \dots, a_\) 與 \(b_n \le b_, \dots, b_\) 不能被覆蓋。 矛盾。
反證法。設 \(s\) 有上界 \(a\) 且 \(s \notin \empty\) 但無上確界，取 \(x \in s\) 則 \(x \le a\) 考慮 \([x, a]\)
\(\forall y \in [x, a]\) 構建開區間。
當 \(y\) 為上界，由假設 \(\exist \varepsilon_y > 0\) 使得 \(y - \varepsilon_y\) 也是上界。
令 \(u_y = (y - \varepsilon_y, y + \varepsilon_y)\) ，當 \(y\) 不是上界的時，\(\exist \varepsilon > 0\) 使得 \(y + \varepsilon\) 也不是上界。
當 \(y\) 為上界，\(\exist \varepsilon_y > 0\) 使得 使得 \(y + \varepsilon_y\) 也不是上界。
令 \(u_y = (y - \varepsilon_y, y + \varepsilon_y)\)
\(\therefore \\) 為 \([x, a]\) 的開覆蓋
\(\therefore\) 有限子覆蓋 \((a_1, b_1), \dots, (a_n, b_n)\)
取所有是上界的 \(a_i\) 令其最小值為 \(a_\) ，則 \(a_\) 為上界，\(a_ - \varepsilon\) 無法被 \(\\) 覆蓋，則 \(\exist (a_j, b_j)\) 覆蓋
\(a_ - \varepsilon\) 而 \(a_i\) 不是上界，由構造 \(b_j\) 不是上界與 \(a_ - \varepsilon < b_j\) 矛盾。
\(\forall \varepsilon > 0, \exist n \in \mathbb n^+\) 使得 \(b_n - a_n < \varepsilon\)
\(\forall m, n > n, a_m a_n \in [a_n, b_n]\) 則 \(|a_m - a_n| < \varepsilon\) ，則 \(\\) 是 \(\text\) 列 \(\exist\) 極限
同理 \(\lim_ b_n\) 存在 且 \(= \lim_ a_n\) 則 \(\\) 遞增 \(\lim_ a_n \ge a_n\) 同理 \(\le b_n\) 故 \(\in [a_n, b_n]\) 。
唯一性 假設 \(a < a'\) 均為極限，則 \([a, a'] \subseteq [a_n, b_n]\)
\(\lim_(b_n - a_n) \ge a' - a > 0\) 矛盾
完備性的定義 ZZ
完備性 在數學及其相關領域中，乙個物件具有完備性，即它不需要新增任何其他元素，這個物件也可稱為完備的或完全的。正交的完備性 不完備性定理 1931年數學家庫爾特 哥德爾證明了他的著名的有關數學本性的不完備性定理。該定理陳述，在任何公理化形式系統。譬如現代數學中，總有在定義該系統 的公理的基礎上既不能...
強連通分量（等價性證明，LA 4287）
就是找到所有強連通分量然後縮點，得到dag。設a為dag入度為零的點的個數，b為dag出度為零的點的個數。答案就是max a，b 當dag只有乙個點時特判輸出0。注意一些細節，就是縮點建圖時不但要判斷邊的兩端是否在同乙個強連通分量內，還要判斷是否已經使用過 即避免重邊 還有一些手誤，以後應該注意。i...
弱Bachet 定理的乙個存在性證明
bachet定理聲稱，若兩個正整數 a,b 互素，則存在整數 u,v 使得 begin au bv 1 end bachet定理的證明,通常書上使用歐幾里德演算法，那是乙個構造性的證明,構造出了具體的 u,v 但是bachet定理的乙個特殊情形不一定用到構造性的證明方法,只用到存在性的證明就足夠了....