關於樹狀陣列

樹狀陣列(binary indexed tree(b.i.t), fenwick tree)是乙個查詢和修改複雜度都為log(n)的資料結構。主要用於查詢任意兩位之間的所有元素之和，但是每次只能修改乙個元素的值；經過簡單修改可以在log(n)的複雜度下進行範圍修改，但是這時只能查詢其中乙個元素的值(如果加入多個輔助陣列則可以實現區間修改與區間查詢)。

個人拙見：其實呢，是一種長的像樹的可以高效查詢子陣列的和以及可以修改元素的陣列。

首先呢，a是乙個陣列，如果叫你求a的任意子陣列的和，有個聰明的辦法就是在讀入a的資料時，建立陣列b，b[i]是從a[0]到a[i]的和，然後呢，求子陣列的和時就可以利用b陣列的兩個元素相減求得子陣列的和，就目前為止，該辦法沒什麼毛病，可是呢，問題很快來了，如果a的元素會被修改呢，那陣列b就要隨之改變啊，如果a[i]改變，則b[i]以後的所有元素都要改變。那麼樹狀陣列可以避免去改變陣列b嗎，答案是no，那為什麼還用樹狀陣列呢，因為他依然要改變b，但它改變的項會遠遠小於前面的做法。

說到現在，才開始進入正題，如果我們依舊沿著前面的思路，創造乙個陣列c，但在這裡c[i]不在是a[0]到a[i]的和了

看一下上面的圖，

如果c1 = a1

c2 = a1 + a2

c3 = a3

c4 = a1 + a2 + a3 + a4

c5 = a5

c6 = a5 + a6

c7 = a7

c8 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8

...好好，看到這裡有同學估計和我一樣脾氣上來了，什麼狗屁玩意啊，ci到底等於什麼啊，每乙個ci等於幾個a元素的和，可是這幾個a[i]的數目和ci到底有什麼關係呢。

穩定一下軍心，首先ci中的i寫成二進位制形式，比如c4吧，4寫成二進位制100，末尾有兩個0，所以呢，等號右邊有2^2個數，即c4管轄這a中的a1,a2,a3,a4這四個數，c4是他們的和。再比如c7,寫成二進位制111，末尾有零個0，所以等號右邊有2^0=1個數，即c7管轄著a中的a7著乙個數，c7是他們的和。那有人問了，我程式中還要這麼麻煩啊，先求二進位制，然後數末尾的0，你有毒吧。其實呢，有個現成的東西，

intlowbit(intx)

lowbit 返回的就是x在二進位制下末尾的0的個數。

那如何每次更新c[i]呢，比如說吧，輸入或者更新了a1吧，收先c1肯定要變吧，即a1+k或者a1-k的話，c中所有含有a1的項都要+k或者-k吧，那麼從上面的式子來看，c2，c4,c8都也要變，可是用程式怎麼寫呢，好，更新a1加k，令i=1,ci+k,然後呢，i=i+lowbit(i)，看看i是不是等於2，ci+k,然後繼續下去i=i+lowbit(i),看看是不是i=4.

用**實現

voidupdate(intx,intv)

其中x是表示ax發生變化，v表示ax發生的變化。

那麼如何求sum[i]呢（sum[i]表示a[0]到a[i]的和）

比如sum[7]=(a[7])+(a[6]+a[5])+(a1 + a2 + a3 + a4)=c7+c6+c4

規律跟上面差不多，反過來的，sum[i]=ci+sum[i-lowbit(i)];

用**實現

intgetsum(intx)

以上就是本菜鳥的所以拙見了，希望大家多多包含。

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關於樹狀陣列的幾點總結

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