樹狀陣列 瞎bb 樹狀陣列

樹狀陣列是乙個利用一維陣列和位運算組成的求解區間問題的高效資料結構，其構造如圖所示

首先，我們要用它解決單點修改、區間查詢的操作。

根據這張圖我們建立乙個陣列bit，下標就是圖中顯示的十進位制數。bit[i]就表示了圖中所示的一段區間的和，例如bit[6]=sum(5,6)，bit[4]=sum(1,4)。

下標最大值為序列的長度n。

我們接下來要求一段序列中left到right的和，就可以轉化為求sum(1,right)-sum(1,left)。

那麼對於已知的x，怎麼求sum(1,x)呢？

在這樣乙個栗子（上圖）中，我們需要求得sum(1,6)的值，可以將其轉化為求bit[6]+bit[4]。

顯而易見，只要將6的二進位制數0110的最低位1刪去，就得到0100，對應了10進製的4。

再舉乙個栗子（如上圖），我們想求sum(1,3)的值，只要求bit[2]+bit[3]就好了。

變化規律和上乙個一樣。(0011---->0010)

對於多段區間，也滿足一樣的規律（上圖）。

我們總結，對於x，只要不斷減去x中最低位的1，將得到的bit[x]相加就可以得到結果了。

用這樣乙個方法獲取x的最低位1

x&-x

1

int sum(intx)7
return
sum;
8 }

舉個栗子，假如對3點進行加a的操作，在bit[3]修改的同時，bit[4]和bit[8]也要相應修改。

觀察這3個數（3，4，8）的二進位制數，可以發現，只要不斷地加上其最低位的1，就可以完成操作了。

0011+0001=0100

0100+0100=1000

再對所得的數判斷是否大於n即可。

於是我們得到了這樣乙個單點修改的操作**。

1

void add(int x,int
a)6 }

區間修改、單點查詢

1

//改段求點型操作 23
//b[i]表示區間1...i一共變化的量 
4int b[101];5
//原始陣列 
6int a[101];7
8void add(int x, intc)9
1314
void add(int left,int right,int
c)18
19int sum(int
x)20

1

//改段求段型：2//
這是最複雜的模型，需要兩個輔助陣列：b[i]表示a[1..i]到目前為止共被整體加了多少（和模型2中的一樣）3//
c[i]表示a[1..i]到目前為止共被整體加了多少的總和（或者說，c[i]=b[i]*i）。45
//對於add(x, c)，只要將b[x]加上c，同時c[x]加上c*x即可（根據c[x]和b[x]間的關係可得）；67
//而add(x, c)操作是這樣影響a[1..i]的和的：若x小於i，則會將a[1..i]的和加上x*c，8//
否則（x>=i）會將a[1..i]的和加上i*c。也就是，a[1..i]之和 = b[i..n]之和 * i + c[1..i-1]之和。 9//
這樣對於b和c兩個陣列而言就變成了「改點求段」（不過b是求字尾和而c是求字首和）。 
10//
另外，該模型中需要特別注意越界問題，即x=0時不能執行sum_b操作和add_c操作。
1112
13//
修改操作：將a[l..r]之間的全部元素值加上c；
14//
add_b(r, c); add_c(r, c);
15//
if (l > 1) 
16//
求和操作：求此時a[l..r]的和。
17//
sum(r) - sum(l - 1)。
1819
//b[i]表示區間1...i變化量 
20int b[101
];21
//c[i]表示區間1...i變化量的總和，有c[i]=b[i]*i 
22int c[101
];23
24void add_b(int x, int
c)25
2829
void add_c(int x, int
c)30
3334
int sum_b(int
x)35
4041
int sum_c(int
x)42
4748
int sum(int
x)49

樹狀陣列1 樹狀陣列入門

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