Warshall傳遞閉包演算法的學習與實現

1、問題引入

乙個有n個頂點的有向圖的傳遞閉包為：有向圖中的初始路徑可達情況可以參見其鄰接矩陣a，鄰接矩陣中a[i,j]表示i到j是否直接可達，若直接可達，則a[i,j]記為1，否則記為0；兩個有向圖中i到j有路徑表示從i點開始經過其他點（或者不經過其他點）能夠到達j點，如果i到j有路徑，則將t[i,j]設定為1，否則設定為0；有向圖的傳遞閉包表示從鄰接矩陣a出發，求的所有節點間的路徑可達情況，該矩陣就為所要求的傳遞閉包矩陣。。。

例如：有向圖為：

由該有向圖可以得到初始的鄰接矩陣為：

那麼warshall傳遞閉包演算法的目的就是由鄰接矩陣出發，進行探索求出最終的傳遞閉包：

2、動態規劃求解思路

動態規劃將問題分段，本例warshall演算法是通過一系列n階矩陣r（k）來構造最終階段n階傳遞閉包矩陣r（n）

r(k) 由它的前趨 r(k-1) 計算得到（分級推進計算）。

r(0) ——該矩陣不允許它的路徑中包含任何中間頂點，即從該矩陣的任意頂點出發的路徑不含有中間頂點，此即鄰接矩陣。

r(1) ——允許路徑中包含第1個頂點（本例編號 1）作為中間頂點。

r(2) ——允許路徑中包含前2個頂點（本例編號1 2）作為中間頂點。

r(k) ——允許路徑中包含前k個頂點作為中間頂點。

r(n) ——允許路徑中包含全部 n 個頂點作為中間頂點。

每個後繼矩陣 r(k) 對其前趨 r(k-1) 來說，在路徑上允許增加乙個頂點，因此有可能包含更多的1（增加前為1的在增加後依然為1）。

3、具體的演算法描述

1 warshall（a[1...n,1
...n]
2 r(0)
3for(k=1;k<=n;k++)
4for(i=1;i<=n;i++)
5for(j=1;j<=n;j++)
6             r(k)[i,j]=r(k-1)[i,j] or(r(k-1)[i,k] and r(k-1
)[k,j]);
7return r(n);

4、具體實現**如下

說明：（1）有向圖的頂點個數和初始鄰接矩陣儲存在2.txt中（具體如下圖），其中4表示有向圖中有4 個頂點，其他表示初始鄰接矩陣。

（2）有向圖的頂點個數和初始鄰接矩陣個數可以隨意更改，，，，

具體**：

1 #include2 #include3
void warshall(int,int**);
4void
main()
514     fscanf(p,"
%d",&num);
15int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1
));16
for(i=0;i1;i++)
17         r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1
));18
for(i=1;i1;i++)
19for(j=1;j1;j++)
20             fscanf(p,"
%d",&r[i][j]);
21     printf("
頂點個數為：%d\n
",num);
22     printf("
鄰接矩陣為：\n");
23for(i=1;i1;i++)
2429
warshall(num,r);
30     printf("
最終的傳遞閉包為\n");
31for(i=1;i1;i++)
323738}
39//
三重迴圈實現的warshall演算法
40//
r為鄰接矩陣，中間儲存初試的可達與非可達路徑情況，1表示可達，0表示不可達
41void warshall(int num,int**r)
4255}56
for(i=1;i<=num;i++)
57for(j=1;j<=num;j++)
58                 r[i][j]=temp[i][j];59}
6061 }

5、結果如下：

6、參考文獻

（1）演算法導論

（2）資料結構嚴蔚敏

Warshall傳遞閉包演算法的學習與實現

傳遞閉包的計算 Warshall

關係傳遞閉包Warshall演算法之思想的一種解說

Warshall傳遞閉包演算法的學習與實現

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