母函式將問題轉換為關於母函式的某種代數問題甚至變成關於母函式的某種形式的運算，以整數拆分為例.
所謂的整數拆分，即將正整數n分解成 若干正整數的和，不考慮其求和的順序，一般假定$n = n_1 + n_2 + \cdots + n_k, \ n_1 \geq n_2 \geq n_3 \geq \cdots \geq n_k$，而且分解的形式不唯一，但有一定的限量.例如，n=2的拆分只有2=1+1，n=3則有1+2，1+1+1兩種，n=4有1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2四種不同的拆分.
正整數的拆分可以理解為將n個無區別的球，放入n個有區別的盒子，其每種方案就是一種拆分.
例一有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，問能稱出多少種重量，並各有幾種稱法？
這個問題可以看作將n拆分成1，2，3，4之和且不允許重複的拆分數，利用母函式計算如下：
$(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4) \\
=(1 + x + x^2 + x^3)(1 + x^3 + x^4 + x^7) \\
=1 + x + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 2x^5 + 2x^6 + 2x^7 + x^8 + x^9 + x^$
$2x^3$表明稱出3克的有2種方案，一種是1+2，一種是3，以此類推，超過10克的便無法稱出.
例二求1角，2角，3角的郵票能貼出的郵資以及方案數，這個問題等價於將n分解成1，2，3的和，且允許重複的拆分數，因為郵票理論上是可以重複的.
利用母函式：
$(1+x + x^2 + \cdots)(1+x^2 + x^4 + \cdots)(1+x^3 + x^6 \cdots) \\
= \frac\cdot \frac\cdot \frac \\
= \frac \\
= 1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + 5x^5 + 7x^6 + \cdots$
右端的級數是直接除的結果
同理，若將$n$分解為$1,2,3, 4，\cdots$之和，允許重複，其方案數$$序列的母函式為
$$\begin
g(x) & = (1+x + x^2 + \cdots)1 + x^2 + x^4 + \cdots)(1 + x^3 + x^6 + \cdots)(1 + x^4 + x^8 + \cdots) \\
&=\prod _^^ \\
&= \frac\cdot \frac\cdot \frac\cdot \frac \cdots
\end$$
整數的拆分
引自 華師大oj 1009 問題描述 將正整數n表示成一系列正整數之和 n n1 n2 nk，其中n1 n2 nk 1，k 1。正整數n的這種表示稱為正整數n的劃分。求正整數n的不 同劃分個數。例如正整數6有如下11種不同的劃分 6 5 1 4 2，4 1 1 3 3，3 2 1，3 1 1 1 2...
整數的拆分
整數拆分分為有序拆分和無序拆分 有序拆分 把n拆分為 r個數，就相當於把n個球用 r 1塊隔板插入到n 1個空隙裡 c r 1,n 1 放球模型，把n個無區別的球放入到r個有區別的盒子裡，每個盒子至少乙個。無序拆分 把n拆分為 r個數,把n個相同的球放入到r個相同的盒子裡，允許盒子為空。把n個相同的...
整數的拆分2
方法二 母函式 下面我們從另乙個角度，即 母函式 的角度來考慮這個問題。所謂母函式，即為關於x的乙個多項式g x 有g x a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 則我們稱g x 為序列 a0,a1,a2,的母函式。關於母函式的思路我們不做更過分析。我們從整數劃分考慮，假設n的某個劃分中，1的出...