組合數學用的最多的工具要算母函式，究竟什麼是母函式呢，先看$(1 + a_1x)(1 + a_2x) \cdots (1 + a_nx) = 1 + (a_1 + a_2 + \cdots a_n)x + (a_1a_2 + a_1a_3 + \cdots a_a_n)x^2 + \cdots +a_1a_2 \cdots a_nx^n.$.
$x^1$項係數：$a_1 + a_2 + \cdots a_n$;
$x^2$項係數：$a_1a_2 + a_1a_3 + \cdots a_a_n； \cdots$
$x^n$項係數：$a_1a_2 \cdots a_n$
即$x^k$項係數：$a_1,a_2, \cdots,a_n$取$k$個組合的全體之和，$k = 1,2, \cdots,n$.
令$a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 1$，即得
$$(1 + x)^ n = 1 + c(n,1)x + c(n,2)x^2 + \cdots + c(n,n)x^n$$
另一方面
$$^m^n = ^$$
故$$\begin
^m^n & = \times \\
&=}\end$$
比較上面等式得常係數，
$c(m,0)c(n,k) + c(m,1)c(n,k-1) + \cdots + c(m,k)c(n,0) \\ = c(m+n,k),\ k = 0,1,2, \cdots,min$
這樣就證明了這個等式，當然也可用組合意義證明。
可見 $(1 + x)^ n = 1 + c(n,1)x + c(n,2)x^2 + \cdots + c(n,n)x^n$在研究序列$c(n,0),c(n,1), \cdots ,c(n,n)$時起作用.為此引進母函式得概念.
定義對於序列$c_0,c_1,c_2 \cdots$構造一函式例如$(1+x)^n$稱為序列$c(n,0),c(n,1), \cdots ,c(n,n)$的母函式，序列長度可能是有限的，也可能是無限的。$$g(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots$$
稱$g(x)$為序列$c_0,c_1,c_2 \cdots$的母函式.
若已知序列可求得母函式，反之若求得母函式，序列也隨之確定，因此，序列和對應的母函式是一一對應的。
現利用母函式求遞推關係的解，用漢諾塔做例子.
$$h(n) = 2h(n-1) + 1, \ \ h(1) = 1$$
補充定義$h_0 = 0$，並作如下步驟的形式化演算：
$x:h_1 = 2h_0 + 1 \\
x^2:h_2 = 2h_1 + 1 \\
x^3:h_3 = 2h_2 + 1 \\
+ \quad \cdots \\$
$g(x) = 2x[h_0 + h_1x + h_2 + \cdots] + [x + x^2 + x^3 + \cdots]$
等式兩邊分別為
$$h_0 + h_1x + h_2x^2 + \cdots = 2x\sum _^h_kx^k + \sum _^x^k$$
$$x + x^2 + x^3 + \cdots = x[1 + x + x^2 + \cdots] = \frac$$
所以得$$g(x) = 2xg(x)+ \frac$$
$$g(x) = \frac$$
序列$$的母函式已求得，後面是設法從$g(x)$求序列$$.
令$$\frac = \frac + \frac$$
解方程得$a = 1,\ b = -1$
所以$$g(x) = \frac - \frac = (1 + 2x + 2^2x^2 + \cdots) - (1 + x + x^2 + \cdots)$$
因此$$h_n = 2^n - 1, \ n = 1,2, \cdots$$
上面利用母函式求遞推關係的序列，構建序列和母函式有座橋：
$$\frac = 1 + x+ x^2 + \cdots$$
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