定義：設 $m$ 是正整數 若同余式
$$x^2 \equiv a(mod \ p),\ (a, p)=1$$
有解，則 $a$ 叫做模 $p$ 的二次剩餘（或平方剩餘）；否則，$a$ 叫做模 $p$ 的二次非剩餘。
尤拉判別條件：
設方程$$x^2 \equiv a (mod \ p), \ \ (a,p)=1,p為奇素數$$
(i) $a$ 是模 $p$ 的二次剩餘的充分必要條件是
$$a^} \equiv 1(mod \ p)$$
(ii) $a$ 是模 $p$ 的二次非剩餘的充分必要條件是
$$a^} \equiv -1(mod \ p)$$
並且當 $a$ 模 $p$ 的二次剩餘時，同余式有兩個解。
定理1：$x^2 \equiv a(mod \ p)$ 中有 $\frac$ 個 $a$ 能使得方程有解
也就說有 $\frac$ 的二次剩餘。
例如，1，2，4是模7的二次剩餘，-1，3，5是模4的二次非剩餘。
勒讓德（lagendre）符號：
設 $p$ 是素數，定義如下：
$$\left(\right)=\begin1, \ \ \ \ p不是n的倍數,n是p的二次剩餘\\-1, \ \ p不是n的倍數，n是p的二次非剩餘（不是二次剩餘就是非剩餘）\\0, \ \ \ \ p是n的倍數
\end$$
有定理1知，$p-1$ 中有一半為1，一半為-1.
根據尤拉判別法則，設 $p$ 是奇素數，對任意整數 $a$，
$$(\frac) \equiv a^} (mod \ p)$$
二次互反律：若 $p, q$ 是互素奇素數，則
$$(\frac) = (-1)^\cdot \frac}(\frac)$$
二次剩餘小結
對於模數 n 和整數 a 若存在整數 x 滿足 x 2 equiv a mod n 則稱 x 是模 n 意義下的二次剩餘，否則是非二次剩餘 注 這裡討論的 x 滿足 x in 1,n 尤拉判別法 對於奇素數 p a 是模 p 意義下的二次剩餘當且僅當 a equiv 1 mod p 類似的，若 a ...
二次剩餘小記
看 text 的部落格看到的，發現似乎並沒有想象中的那麼難，就學了一下，過了板題，這裡記錄一下，暫時還是只會二次剩餘，n 次剩餘暫時先放一下。下文的 p 即是模數。我們稱 n 為模 p 意義下的二次剩餘當且僅當存在 x 使得 x 2 equiv n pmod p,x in mathbb 下文的 ma...
二次剩餘雜記
參考資料一 參考資料二 對於 x 和 p 如果存在 a in 0,p 滿足 a 2 equiv x pmod p 則稱x為模 p 的二次剩餘。在這裡，我們暫時只討論 p 為奇素數的情況。有乙個性質，二次剩餘與非二次剩餘的個數均為 frac 2 如果 p 的原根為 g 那麼 g 的偶數次冪顯然都是二次...