看 \(\text\) 的部落格看到的，發現似乎並沒有想象中的那麼難，就學了一下，過了板題，這裡記錄一下，暫時還是只會二次剩餘， \(n\) 次剩餘暫時先放一下。
下文的 \(p\) 即是模數。
我們稱 \(n\) 為模 \(p\) 意義下的二次剩餘當且僅當存在 \(x\) 使得 \(x^2\equiv n\pmod p,x\in \mathbb\) 。下文的 \(\mathbb\) 其實是自然數集。
\((a+b)^p\equiv a^p+b^p\pmod\)
顯然只需要說明 \(\dbinom\equiv0\pmod p,s.t.\ \ 1\le i\le p-1\)，然後我們發現如果 \(p\) 是個奇素數的話，那麼分子裡面的 \(p\) 就沒有辦法消去，於是就得證了。
\(n^}\equiv 1\pmod p\)
是 \(n\) 是模 \(p\) 意義下的二次剩餘的充要條件。
必要性：設 \(x^2\equiv n\pmod p\)，那麼有 \(x^\equiv 1\pmod p\) ，證畢。
充分性：顯然。
接下來，我們考慮隨機出乙個 \(a\) 使得 \(a^2-n\) 不是乙個二次剩餘，這樣的期望嘗試次數大概為 \(2\)，再設 \(i^2=a^2-n\) ，這裡的 \(i\) 顯然就不屬於 \(\mathbb\) ，我們把它視作虛數之類的東西就好了。然後我們發現就有個性質：
\[i^\equiv -1\pmod p
\]證明：首先我們知道 \((i^2)^}\equiv (a^2-n)^}\not\equiv 1\pmod p\) （因為 \(a^2-n\) 不是乙個二次剩餘），然後又有 \((i^2)^\equiv 1\pmod p\)，所以 \(i^\equiv -1\pmod p\)。
我們可（bu）以（neng）發現：
\[(a+i)^\equiv (a+i)^p(a+i)\equiv(a^p+i^p)(a+i)\equiv (a-i)(a+i)
\]\[\equiv a^2-i^2\equiv n\pmod p
\]就是說 \((a+i)^\equiv n\pmod p\)，所以說 \(\sqrt n\equiv (a+i)^}\pmod p\)。
可能有人有疑問，\((a+i)^}\) 有沒有可能不是乙個整數，顯然如果你保證有解的話它顯然就是乙個整數。
#include using namespace std;
#define int register int
#define int long long
template inline void read (t &t)while (c >= '0' && c <= '9') t *= f;}
template inline void read (t &t,args&... args)
template inline void write (t x)if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
int p,sqri;
int qkpow (int a,int b)
int mul (int a,int b)
int dec (int a,int b)
int add (int a,int b)
struct node
node operator * (node b)
node operator + (node b)
node operator ^ (int b)
};bool check_if_qs (int n)
bool tryit (int n)
int a = rand ();sqri = dec (mul (a,a),n);
if (!a || !check_if_qs (sqri))
else return 0;
} signed main()
return 0;
}
二次剩餘學習小記
這個其實很早之前就想寫了，只不過一直沒有時間。之前稍微學了一下，但由於沒有留下深刻的印象，所以學了等於白學。scoi2018有一道題就是裸的二次剩餘題，比賽時做不出來真是氣炸了。如果p pp為奇素數。n nn在模p pp意義下能被開方，就稱n nn是模p pp意義下的二次剩餘。即存在x2 n mo ...
二次剩餘小結
對於模數 n 和整數 a 若存在整數 x 滿足 x 2 equiv a mod n 則稱 x 是模 n 意義下的二次剩餘，否則是非二次剩餘 注 這裡討論的 x 滿足 x in 1,n 尤拉判別法 對於奇素數 p a 是模 p 意義下的二次剩餘當且僅當 a equiv 1 mod p 類似的，若 a ...
二次剩餘雜記
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