在飛機上的時候理解了一下這個演算法，這裡寫一下吧。本來以前一直以為是個\(h_2o\)演算法（其實也是），結果發現一些證明還是很有意思的。
對於乙個給定圖，我們有如下定義：
我們稱\(u\)為\(v\)的支配點當且僅當在原圖中刪去\(u\)之後從根節點出發無法抵達\(v\)。
我們稱\(u\)為\(v\)的半支配點當且僅當\(u\)存在一條到\(v\)的路徑使得該路徑除去\(u,v\)所有節點的\(dfn\)都大於\(dfn[v]\)，且\(u\)在滿足條件的點集中\(dfn\)最小。
為了方便，我們稱點\(u\)的半支配點為\(sdom[u]\)，支配點為\(idom[u]\)。
這個演算法主要是解決支配之類的問題。例如乙個點支配多少個點，乙個點被多少個點支配之類的。
對於這個問題我們可以建起一棵樹，滿足點\(u\)支配的點都在\(u\)的子樹內。
於是問題就是如何建起一棵支配樹，據說這個還叫滅絕樹（奇怪的名字增加了！！！）
很顯然，對於一棵樹，該樹的支配樹就是它本身。
很顯然，我們可以直接把點\(u\)連在\(lca(v_1,v_2,...)\)的下面，其中存在邊\(v_1,v_2,...\to u\)。
時間複雜度\(\theta(n\log n)\)。
例題: [zjoi2012]災難
對此，我們\(\text \)老爺子和\(\text \)提出了一種名為\(\text \)的演算法，可以在\(\theta(n\log n)\)的時間複雜度內建好樹，當然，更確切的來說是\(\theta(n\alpha (n))\)。
我們發現似乎我們直接求支配點不是很好求，我們考慮如何求出半支配點。
我們發現對於當前節點\(u\)，如果有邊\(v\to u\)，且\(dfn[u]，那麼在不考慮\(dfn\)最小的情況下，一定\(sdom[v]\)為\(u\)的半支配點。
證明直接感性一下，發現顯然，直接根據定義就可以知道正確性。
而且半支配點還有乙個性質，就是乙個點的半支配點的\(dfn\)一定不會比該點大，這個下面的**證明會用到，但是我似乎並沒有寫出來，讀者明白就好。
然後這裡就有乙個\(\theta(n\log n)\)的方法誕生了。我們發現如果刪掉原圖中非\(dfs\)樹的邊，再對於\(\forall u\)，連上\(sdom[u]\to u\)，不會改變原圖的支配關係。
正確性這裡感性證明一下，對於\(u,v\)，如果在原圖中\(u\)並不支配\(v\)，那麼，如果在\(dfs\)樹中\(u\)不是\(v\)的祖先，那顯然滿足，否則的話，我們可以從\(sdom[v]\)走到\(v\)。如果原圖中\(u\)支配\(v\)的話，很顯然，在\(dfs\)樹中\(u\)是\(v\)的祖先，因為無論怎麼走都得先經過\(u\)。那麼顯然\(u\)還支配\(v\)。
於是，我們就把這個圖變成了乙個\(\text \)，就可以用上面的方法\(\theta(n\log n)\)做出來了。
但是，這並不滿足我們對**複雜度的渴望。乙個小小的思想在我們腦海中劃過：我們是否可以用\(sdom\)求出\(idom\)？答案是肯定的。為了方便，我們假設我們已經把圖變成乙個\(\text \)了。
我們分兩種情況考慮：
我們設\(z\)為\(sdom[x]\to x\)路徑上\(dfn[sdom[z]]\)最小的點
如果\(sdom[z]=sdom[x]\)
則\(idom[x]=sdom[x]\)
這個應該很顯然吧。。。**理解的話就是因為不可能有其他點通過\(sdom\)邊走到\(sdom[x]\to x\)的路徑上，因為這條路徑上\(dfn[sdom[z]]\)最小值也不過\(sdom[x]\)。
否則\(idom[x]=idom[z]\)
我們採用反證法來感性證明一下：
我們假設刪去\(idom[z]\)之後仍可達\(idom[x]\)，那麼說明\(idom[z]\)的某個祖先可以通過\(sdom\)邊走到\(idom[z]\to x\)這條路徑上的某個點，但是我們發現\(idom[z]\)必定是\(sdom[z]\)的後代，而\(sdom[z]\to z\)這條路徑上\(dfn[sdom[z]]\)最小也不過\(z\)，所以矛盾，證畢。
於是，我們可以用並查集維護\(sdom[x]\to x\)中\(dfn[sdom[\ \ ]]\)的最小值，我們就在\(\theta(n\alpha(n))\)的時間複雜度內解決了建樹的問題。
對了，還有最後的乙個問題沒有解決，可能細心的讀者已經發現了（似乎也木有什麼讀者），我們並沒有說明乙個點支配的點都在支配樹的子樹內。其實很好說明，我們發現我們全都是用的\(dfn\)最小的點，這就滿足充分性。
p5180 【模板】支配樹
這個題確實就是板題，就是建出支配樹後求出子樹大小。
**戳這裡開啟
給出乙個\(n\)個點\(m\)條邊的帶權無向圖，給定起點\(s\)，求出乙個點使得刪去該點之後最短路變化的點數最多。
這道題其實還是比較妙的。
我們不難想到先對原圖建出乙個最短路徑圖，於是乙個點刪去產生的貢獻就是該圖中支配的點數。這個仔細想一下就會明白為什麼。
我們發現這個最短路徑圖一定是個\(\text \)，因為裡面如果有環的話就不是最短路徑圖了，於是我們就可以直接用\(\text \theta(n\log n)\)解決。
於是我們就在\(\theta(n\log n+m)\)的時間複雜度內解決了這個問題。
**戳這裡開啟
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