線段樹學習筆記

本文筆記在參考一步一步理解線段樹－tenos的基礎上形成：

線段樹，也是二叉搜尋樹的一種，是基於陣列，但是優於陣列的一種資料結構。同時結合預處理（時間複雜度一般在o(n)）使得從原來陣列的o(n)的查詢和更新複雜度降到了o(logn)，在處理很大資料量的資料更新和查詢最值方面變得簡單，值得一提的是，它的構建也很簡單。這裡從最小值的問題討論（一般，線段樹用在查詢最值比較方便）

1.構建線段樹：

構建的思想是從根節點開始，逐步接近葉子節點，這裡採用基於陣列的方式構建線段樹。

樹的編號是從上大下，從左到右依次增大的，管理的區間長度隨著樹的層次增加而每次縮短。比如從根節點到葉子的管理的區間變化是：

[0, n) --> [0, n/2) & [n/2, n), -->......-->0, 1, 2, 3,....., n-1

所以構建線段樹（c++）的**如下：

#include #include using namespace std;
const int maxn = 1000;
const int inf = numeric_limits::max();
struct lineartree lt[maxn];
void construct(int root, int* arr, int l, int r) 
}

2.線段樹查詢操作：

對於給定區間（區間最小長度為1，這裡統一都是採用左閉右開的方式），要查詢它的最小值，可以從根節點開始，不斷將要查詢的區間進行切割，從而得到查詢結果，主要是這樣：

1）對於當前訪問區段，如果該區段與查詢區段沒有交集，那麼返回乙個inf；

2）對於當前訪問區段，如果該區段包含在查詢區段裡，那麼當前訪問區段的最小值；

3）如果以上兩種情況都不是，那麼對當前區段二分，通過訪問其子區段，來查詢結果；

以上三種就是全部情況了，實際上第二種情況是第三種情況的子情況，同時對於之前所說的切割也是在這兩種情況之下進行的，比如在第二種就說明訪問區間是當前區間的子區間，第三種情況就可以把部分相交的訪問區間切割成第一和第二種情況，第一種情況可以略掉，第二種就變成它的子情況了，再通過這些子區間的比較就可以得到查詢結果：

int requir(int root, int cl, int cr, int ql, int qr)

3.線段樹更新：

更新分為兩種，一種是對單個元素更新，一種是對單個區間更新。我參考的那篇文章的作者設計了一套方法，可以方便更新，但是對於這種求最值的問題似乎沒有這個必要，如果是求和的話，或者說進行區間比較就很方便了（以下為advanced版本）：

#include #include using namespace std;
const int maxn = 1000;
const int inf = numeric_limits::max();
struct lineartree lt[maxn];
void send(int root) 
}void construct(int root, int* arr, int l, int r) 
}int requir(int root, int cl, int cr, int ql, int qr) 
void renewsing(int idx, int x, int root, int l, int r) 
}viod renewseg(int root, int alter, int l, int r, int alterl, int alterr) 
//將之前的更新值向下傳遞
send(root);
int mid = (l + r) / 2;
renewseg(root*2 + 1, alter, l, mid, alterl, alterr);
renewseg(root*2 + 2, alter, mid, r, alterl, alterr);
//回溯更新
lt[root] = min(lt[root*2 + 1], lt[root*2 + 2]);
}

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